第三节　描述对象特性的参数

当对象的输入量变化后，输出量究竟是如何变化的呢？这就是要研究的问题。显然，对象输出量的变化情况与输入量的形式有关。为了使问题比较简单起见，下面假定对象的输入量是具有一定幅值的阶跃作用。

前面已经讲过，对象的特性可以通过其数学模型来描述，但是为了研究问题方便起见，在实际工作中，常用下面三个物理量来表示对象的特性。这些物理量，称为对象的特性参数。

一、放大系数K

对于如图2-2所示的简单水槽对象，当流入流量Q₁有一定的阶跃变化后，液位h也会有相应的变化，但最后会稳定在某一数值上。如果我们将流量Q₁的变化看作对象的输入，而液位h的变化看作对象的输出，那么在稳定状态时，对象一定的输入就对应着一定的输出，这种特性称为对象的静态特性。

假定Q₁的变化量用ΔQ₁表示，h的变化量用Δh表示。在一定的ΔQ₁下，h的变化情况如图2-12所示。在重新达到稳定状态后，一定的ΔQ₁对应着一定的Δh值。令K等于Δh与ΔQ₁之比，用数学关系式表示，即

或

Δh=KΔQ₁　　（2-32）

K在数值上等于对象重新稳定后的输出变化量与输入变化量之比。它的意义也可以这样来理解：如果有一定的输入变化量ΔQ₁，通过对象就被放大了K倍变为输出变化量Δh，则称K为对象的放大系数。

对象的放大系数K越大，就表示对象的输入量有一定变化时，对输出量的影响越大。在工艺生产中，常常会发现有的阀门对生产影响很大，开度稍微变化就会引起对象输出量大幅度的变化，甚至造成事故；有的阀门则相反，开度的变化对生产的影响很小。这说明在一个设备上，各种量的变化对被控变量的影响是不一样的。换句话说，就是各种量与被控变量之间的放大系数有大有小。放大系数越大，被控变量对这个量的变化就越灵敏，这在选择自动控制方案时是需要考虑的。

现以合成氨厂的变换炉为例，来说明各个量的变化对被控变量的放大系数是不相同的。图2-13是一氧化碳变换过程示意图。变换炉的作用，是将一氧化碳和水蒸气在触媒存在的条件下发生作用，生成氢气和二氧化碳，同时放出热量。生产过程要求一氧化碳的转化率要高，蒸汽消耗量要少，触媒寿命要长。生产上通常用变换炉一段反应温度作为被控变量，来间接地控制转换率和其他指标。

影响变换炉一段反应温度的因素是很复杂的，其中主要有冷激流量、蒸汽流量和半水煤气流量。改变阀门1、2、3的开度就可以分别改变冷激量、蒸汽量和半水煤气量的大小。生产上发现，改变冷激量对被控变量温度的影响最大、最灵敏；改变蒸汽量影响次之；改变半水煤气量对被控变量温度的影响最不显著。如果改变冷激量、蒸汽量和半水煤气量的百分数是相同的，那么变换炉一段反应温度的变化情况如图2-14所示。图中曲线1、2、3分别表示冷激量、蒸汽量、半水煤气量改变时的温度变化曲线。由该图可以看出，当冷激量、蒸汽量、半水煤气量改变的相对百分数相同时，稳定以后，曲线1的温度变化最大；曲线2次之；曲线3的温度变化最小。这说明冷激量对温度的相对放大系数最大；蒸汽量对温度的相对放大系数次之；半水煤气量对温度的相对放大系数最小。

当然，究竟通过控制什么参数来改变被控变量为最好的控制方案，除了要考虑放大系数的大小之外，还要考虑许多其他因素，详细分析将在第七章进行。

二、时间常数T

从大量的生产实践中发现，有的对象受到干扰后，被控变量变化很快，较迅速地达到了稳定值；有的对象在受到干扰后，惯性很大，被控变量要经过很长时间才能达到新的稳态值。从图2-15中可以看到，截面积很大的水槽与截面积很小的水槽相比，当进口流量改变同样一个数值时，截面积小的水槽液位变化很快，并迅速趋向新的稳态值。而截面积大的水槽惰性大，液位变化慢，须经过很长时间才能稳定。同样道理，夹套蒸汽加热的反应器与直接蒸汽加热的反应器相比，当蒸汽流量变化时，直接蒸汽加热的反应器内反应物的温度变化就比夹套加热的反应器来得快［如图2-15（b）所示］。如何定量地表示对象的这种特性呢？在自动化领域中，往往用时间常数T来表示。时间常数越大，表示对象受到干扰作用后，被控变量变化得越慢，到达新的稳定值所需的时间越长。

为了进一步理解放大系数K与时间常数T的物理意义，下面结合图2-2所示的水槽例子，来进一步加以说明。

由前面的推导可知，简单水槽的对象特性可由式（2-10）来表示，现重新写出

假定Q₁为阶跃作用，t<0时Q₁=0；t≥0时Q₁=A，如图2-16（a）所示。为了求得在Q₁作用下h的变化规律，可以对上述微分方程式求解，得

h（t）=KA（1-e^-t/T）　　（2-33）

上式就是对象在受到阶跃作用Q₁=A后，被控变量h随时间变化的规律，称为被控变量过渡过程的函数表达式。根据式（2-33）可以画出h～t曲线，称为阶跃反应曲线或飞升曲线，如图2-16（b）所示。

从图2-16反应曲线可以看出，对象受到阶跃作用后，被控变量就发生变化，当t→∞时，被控变量不再变化而达到了新的稳态值h（∞），这时由式（2-33）可得

　　（2-34）

这就是说，K是对象受到阶跃输入作用后，被控变量新的稳定值与所加的输入量之比，故是对象的放大系数。它表示对象受到输入作用后，重新达到平衡状态时的性能，是不随时间而变的，所以是对象的静态性能。

对于简单水槽对象，由式（2-9）可知，K=R_s，即放大系数只与出水阀的阻力有关，当阀的开度一定时，放大系数就是一个常数。

下面再来讨论时间常数T的物理意义。将t=T代入式（2-33），就可以求得

h（T）=KA（1-e^-1）=0.632KA　　（2-35）

将式（2-34）代入式（2-35）得

h（T）=0.632h（∞）　　（2-36）

这就是说，当对象受到阶跃输入后，被控变量达到新的稳态值的63.2%所需的时间，就是时间常数T，实际工作中，常用这种方法求取时间常数。显然，时间常数越大，被控变量的变化也越慢，达到新的稳定值所需的时间也越大。在图2-17中，四条曲线分别表示对象的时间常数为T₁、T₂、T₃、T₄时，在相同的阶跃输入作用下被控变量的反应曲线。假定它们的稳态输出值均是相同的（图中为100）。显然，由图可以看出，T₁<T₂<T₃<T₄。时间常数大的对象（例T₄所表示的对象），对输入的反应比较慢，一般也可以认为它的惯性要大一些。

在输入作用加入的瞬间，液位h的变化速度是多大呢？将式（2-33）对时间t求导得

　　　　　　（2-37）

由上式可以看出，在过渡过程中，被控变量变化速度是越来越慢的，当t=0时，有

　　（2-38）

当t→∞时，由式（2-37）可得

　　（2-39）

式（2-38）所表示的是t=0时液位变化的初始速度。从图2-18所示的反应曲线来看，就等于曲线在起始点时切线的斜率。由于切线的斜率为，从图2-18可以看出，这条切线在新的稳定值h（∞）上截得的一段时间正好等于T。因此，时间常数T的物理意义可以这样来理解：当对象受到阶跃输入作用后，被控变量如果保持初始速度变化，达到新的稳态值所需的时间就是时间常数。可是实际上被控变量的变化速度是越来越小的。所以，被控变量变化到新的稳态值所需要的时间，要比T长得多。理论上说，需要无限长的时间才能达到稳态值。从式（2-33）可以看出，只有当t=∞时，才有h=KA。但是当t=3T时，代入式（2-33），便得

h（3T）=KA（1-e^-3）≈0.95KA≈0.95h（∞）　　（2-40）

这就是说，从加入输入作用后，经过3T时间，液位已经变化了全部变化范围的95%，这时，可以近似地认为动态过程基本结束。所以，时间常数T是表示在输入作用下，被控变量完成其变化过程所需要的时间的一个重要参数。

三、滞后时间τ

前面介绍的简单水槽对象在受到输入作用后，被控变量立即以较快的速度开始变化，如图2-11所示。这是一阶对象在阶跃输入作用下的反应曲线。这种对象用时间常数T和放大系数K两个参数就可以完全描述了它们的特性。但是有的对象，在受到输入作用后，被控变量却不能立即而迅速地变化，这种现象称为滞后现象。根据滞后性质的不同，可分为两类，即传递滞后和容量滞后。

1.传递滞后

传递滞后又叫纯滞后，一般用τ₀表示。τ₀的产生一般是由于介质的输送需要一段时间而引起的。例如图2-19（a）所示的溶解槽，料斗中的固体用皮带输送机送至加料口。在料斗加大送料量后，固体溶质需等输送机将其送到加料口并落入槽中后，才会影响溶液浓度。当以料斗的加料量作为对象的输入，溶液浓度作为输出时，其反应曲线如图2-19（b）所示。图中所示的τ₀为皮带输送机将固体溶质由加料斗输送到溶解槽所需要的时间，称为纯滞后时间。显然，纯滞后时间τ₀与皮带输送机的传送速度v和传送距离L有如下关系

　　（2-41）

另外，从测量方面来说，由于测量点选择不当、测量元件安装不合适等原因也会造成传递滞后。图2-20是一个蒸汽直接加热器。如果以进入的蒸汽量q为输入量，实际测得的溶液温度为输出量。并且测温点不是在槽内，而是在出口管道上，测温点离槽的距离为L。那么，当加热蒸汽量增大时，槽内温度升高，然而槽内溶液流到管道测温点处还要经过一段时间τ₀。所以，相对于蒸汽流量变化的时刻，实际测得的溶液温度T要经过时间τ₀后才开始变化。这段时间τ₀亦为纯滞后时间。由于测量元件或测量点选择不当引起纯滞后的现象在成分分析过程中尤为常见。安装成分分析仪器时，取样管线太长，取样点安装离设备太远，都会引起较大的纯滞后时间，这是在实际工作中要尽量避免的。

图2-21所示为有、无纯滞后的一阶阶跃响应曲线。x为输入量，y（t）为无纯滞后时的输出量，y_τ（t）为有纯滞后时的输出量。比较两条响应曲线，它们除了在时间轴上前后相差一个τ的时间外，其他形状完全相同。也就是说纯滞后对象的特性是当输入量发生变化时，其输出量不是立即反映输入量的变化，而是要经过一段纯滞后时间τ以后，才开始等量地反映原无滞后时的输出量的变化。表示成数学关系式为

　　（2-42）

或        

　　（2-43）

因此对于有、无纯滞后特性的对象其数学模型具有类似的形式。如果上述例子中都是可以用一阶微分方程式来描述的一阶对象，而且它们的时间常数和放大系数亦相等，仅在自变量t上相差一个τ的时间，那么，若无纯滞后的对象特性可以用下述方程式描述

　　        （2-44）

则有纯滞后的对象特性可以用下述方程式描述

　　（2-45）

2.容量滞后

有些对象在受到阶跃输入作用x后，被控变量y开始变化很慢，后来才逐渐加快，最后又变慢直至逐渐接近稳定值，这种现象叫容量滞后或过渡滞后，其反应曲线如图2-22所示。

容量滞后一般是由于物料或能量的传递需要通过一定阻力而引起的。如前面介绍过的两个水槽串联的二阶对象，其特性可用式（2-27）的微分方程式描述，为了方便起见，将输出量h₂用y表示，输入量Q₁用x表示，则方程式可写为

　　（2-46）

假定输入作用为阶跃函数，其幅值为A。为了得到该二阶对象在阶跃作用下输出y随时间t的变化规律，需要求解上述二阶微分方程式。已知，二阶常系数微分方程式的解是

y（t）=y_tr（t）+y_ss（t）　　（2-47）

其中y_tr（t）为对应的齐次方程式的通解，y_ss（t）为非齐次方程的一个特解。

由于对应的齐次方程式为

　　（2-48）

其特征方程为

T₁T₂S²+（T₁+T₂）S+1=0　　（2-49）

求得特征根为        

故齐次方程式的通解为

　　（2-50）

式中，C₁、C₂为决定于初始条件的待定系数。

式（2-46）的一个特解可以认为是稳定解，由于输入x=A，稳定时

y_ss（t）=KA　　（2-51）

将式（2-51）及式（2-50）代入式（2-47），可得

　　（2-52）

用初始条件代入式（2-52），可分别解得

　　（2-53）

　　（2-54）

将上述两式代入式（2-52），可得

　　（2-55）

上式便是串联水槽对象的阶跃反应函数。由此式可知，在t=0时y（t）=0；在t=∞时，y（t）=KA。y（t）是稳态值KA与两项衰减指数函数的代数和。因而把这个解画成曲线，就有如图2-22所示的形状。这说明输入量在作阶跃变化的瞬间，输出量变化的速度等于零，以后随着t的增加，变化速度慢慢增大，但当t大于某一个t₁值后，变化速度又慢慢减小，直至t→∞时，变化速度减少为零。

对于这种对象，要想用前面所讲的描述对象的三个参数K、T、τ来描述的话，必须作近似处理，即用一阶对象的特性（是有滞后）来近似上述二阶对象。方法如下：在图2-23所示的二阶对象阶跃反应曲线上，过反应曲线的拐点O作一切线，与时间轴相交，交点与被控变量开始变化的起点之间的时间间隔τ_h就为容量滞后时间。由切线与时间轴的交点到切线与稳定值KA线的交点之间的时间间隔为T。这样，二阶对象就被近似为是有滞后时间τ=τ_h，时间常数为T的一阶对象了。

纯滞后和容量滞后尽管本质上不同，但实际上很难严格区分，在容量滞后与纯滞后同时存在时，常常把两者合起来统称滞后时间τ，即τ=τ₀+τ_h，如图2-24所示。

不难看出，自动控制系统中，滞后的存在是不利于控制的。也就是说，系统受到干扰作用后，由于存在滞后，被控变量不能立即反映出来，于是就不能及时产生控制作用，整个系统的控制质量就会受到严重的影响。当然，如果对象的控制通道存在滞后，那么所产生的控制作用不能及时克服干扰作用对被控变量的影响，也要影响控制质量的。所以，在设计和安装控制系统时，都应当尽量把滞后时间减到最小。例如，在选择控制阀与检测点的安装位置时，应选取靠近控制对象的有利位置。从工艺角度来说，应通过工艺改进，尽量减少或缩短那些不必要的管线及阻力，以利于减少滞后时间。