第二节 对象数学模型的建立
一、建模目的
建立被控对象的数学模型，其主要目的可归结为以下几种。
（1）控制系统的方案设计 对被控对象特性的全面和深入地了解，是设计控制系统的基础。例如控制系统中被控变量及检测点的选择、操纵变量的确定、控制系统结构形式的确定等都与被控对象的特性有关。
（2）控制系统的调试和控制器参数的确定 为了使控制系统能安全投运并进行必要的调试，必须对被控对象的特性有充分的了解。另外，在控制器控制规律的选择及控制器参数的确定时，也离不开对被控对象特性的了解。
（3）制定工业过程操作优化方案 操作优化往往可以在基本不增加投资与设备的情况下，获取可观的经济效益。这样一个命题的解决离不开对被控对象特性的了解，而且主要是依靠对象的静态数学模型。
（4）新型控制方案及控制算法的确定 在用计算机构成一些新型控制系统时，往往离不开被控对象的数学模型。例如预测控制、推理控制、前馈动态补偿等都是在已知对象数学模型的基础上才能进行的。
（5）计算机仿真与过程培训系统 利用开发的数学模型和系统仿真技术，使操作人员有可能在计算机上对各种控制策略进行定量的比较与评定，有可能在计算机上仿效实际的操作，从而高速、安全、低成本地培训工程技术人员和操作工人，有可能制定大型设备启动和停车的操作方案。
（6）设计工业过程的故障检测与诊断系统 利用开发的数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的故障及其原因，并能提供正确的解决途径。
二、机理建模
机理建模是根据对象或生产过程的内部机理，列写出各种有关的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、动量平衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、设备的特性方程、化学反应定律、电路基本定律等，从而获取对象（或过程）的数学模型，这类模型通常称为机理模型。应用这种方法建立的数学模型，其最大优点是具有非常明确的物理意义，所得的模型具有很大的适应性，便于对模型参数进行调整。但是，由于化工对象较为复杂，某些物理、化学变化的机理还不完全了解，而且线性的并不多，加上分布参数元件又特别多（即参数同时是位置与时间的函数），所以对于某些对象，人们还难以写出它们的数学表达式，或者表达式中的某些系数还难以确定。
下面通过一些简单的例子来讨论机理建模的方法。
1.一阶对象
当对象的动态特性可以用一阶微分方程式来描述时，一般称为一阶对象。
（1）水槽对象 图2-2是一个水槽，水经过阀门1不断地流入水槽，水槽内的水又通过阀门2不断流出。工艺上要求水槽的液位h保持一定数值。在这里，水槽就是被控对象，液位h就是被控变量。如果阀门2的开度保持不变，而阀门1的开度变化是引起液位变化的干扰因素。那么，这里所指的对象特性，就是指当阀门1的开度变化时，液位h是如何变化的。在这种情况下，对象的输入量是流入水槽的流量Q1，对象的输出量是液位h。下面推导表征h与Q1之间关系的数学表达式。
图2-2 水槽对象
在生产过程中，最基本的关系是物料平衡和能量平衡。当单位时间流入对象的物料（或能量）不等于流出对象的物料（或能量）时，表征对象物料（或能量）蓄存量的参数就要随时间而变化，找出它们之间的关系，就能写出描述它们之间关系的微分方程式。因此，列写微分方程式的依据可表示为
对象物料蓄存量的变化率=单位时间流入对象的物料-单位时间流出对象的物料
上式中的物料量也可以表示为能量。
以图2-2的水槽对象为例，截面积为A的水槽，当流入水槽的流量Q1等于流出水槽的流量Q2时，系统处于平衡状态，即静态，这时液位h保持不变。
假定某一时刻Q1有了变化，不再等于Q2，于是h也就变化，h的变化与Q1的变化究竟有什么关系呢？这必须从水槽的物料平衡来考虑，找出h与Q1的关系，这是推导表征h与Q1关系的微分方程式的根据。
在用微分方程式来描述对象特性时，往往着眼于一些量的变化，而不注重这些量的初始值。所以下面在推导方程的过程中，假定Q1、Q2、h都代表它们偏离初始平衡状态的变化值。
如果在很短一段时间dt内，由于Q1不等于Q2，引起液位变化了dh，此时，流入和流出水槽的水量之差（Q1-Q2）dt应该等于水槽内增加（或减少）的水量Adh，若用数学式表示，就是
（Q1-Q2）dt=Adh （2-4）
上式就是微分方程式的一种形式。在这个式子中，还不能一目了然地看出h与Q1的关系。因为在水槽出水阀2开度不变的情况下，随着h的变化，Q2也会变化。h越大，静压头越大，Q2也会越大。也就是说，在式（2-4）中，Q1、Q2、h都是时间的变量，如何消去中间变量Q2，得出h与Q1的关系式呢？
如果考虑变化量很微小（由于在自动控制系统中，各个变量都是在它们的额定值附近做微小的波动，因此做这样的假定是允许的），可以近似认为Q2与h成正比，与出水阀的阻力系数Rs成反比，用式子表示为
（2-5）
将此关系式代入式（2-4），便有
（2-6）
移项整理后可得
（2-7）
令
T=ARs （2-8）
K=Rs （2-9）
代入式（2-7），便有
（2-10）
这就是用来描述简单的水槽对象特性的微分方程式。它是一阶常系数微分方程式，式中T称时间常数，K称放大系数。
（2）RC电路 图2-3为RC电路，若取ei为输入参数，eo为输出参数，根据基尔霍夫定律可得
ei=iR+eo （2-11）
显然i为中间变量，应消去。因为
（2-12）
联立式（2-11）与式（2-12），得
（2-13）
或
（2-14）
式中 T=RC
图2-3 RC电路
式（2-14）就是描述RC电路特性的方程式，它与描述水槽特性的式（2-10）是类似的，都是一阶常系数微分方程式，只不过在式（2-14）中，放大系数K=1罢了。
2.积分对象
当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，称为积分对象。
图2-4所示的液体贮槽，就具有积分特性。因为贮槽中的液体由正位移泵抽出，因而从贮槽中流出的液体流量Q2将是常数，它的变化量为0。因此，液位h的变化就只与流入量的变化有关。如果以h、Q1分别表示液位和流入量的变化量，那么就有
（2-15）
式中，A为贮槽横截面积。
对式（2-15）积分，可得
（2-16）
这说明图2-4所示贮槽具有积分特性。
图2-4 液体贮槽
3.二阶对象
当对象的动态特性可以用二阶微分方程式来描述时，一般称为二阶对象。
图2-5 串联水槽
（1）串联水槽对象 对于图2-5所示的两贮槽串联，其表征对象特性的微分方程式的建立和一只贮槽的情况类似。假定这时对象的输入量是Q1，输出量是h2，也就是研究当输入流量Q1变化时第二只贮槽的液位h2的变化情况。同样假定输入、输出量变化很小的情况下，贮槽的液位与输出流量具有线性关系。即
（2-17）
（2-18）
式中，R1、R2分别表示第一只贮槽的出水阀与第二只贮槽的出水阀的阻力系数。
另外，假定每只贮槽的截面积都为A，则对于每只贮槽，都具有与式（2-4）相同的物料平衡关系，即
（Q1-Q12）dt=Adh1 （2-19）
（Q12-Q2）dt=Adh2 （2-20）
由以上四个方程式，经过简单的推导和整理，消去中间变量Q12、Q2、h1，可得输出量h2与输入量Q1之间的关系式。为此将式（2-19）和式（2-20）写成如下形式
（2-21）
（2-22）
由式（2-22）解得
（2-23）
将式（2-18）代入式（2-23），然而再代入式（2-21）得
（2-24）
将式（2-18）与式（2-17）代入式（2-22），并求导，得到
（2-25）
将式（2-24）代入式（2-25），并整理后得
（2-26）
或写成
（2-27）
式中，T1=AR1为第一只贮槽的时间常数；T2=AR2为第二只贮槽的时间常数；K=R2为整个对象的放大系数。
这就是用来描述两只贮槽串联的对象的微分方程式，它是一个二阶常系数微分方程式。
图2-6 RC串联电路
（2）RC串联电路 图2-6是两个形式相同的RC电路串联而成的滤波电路，根据基尔霍夫定律可写出下列方程
（2-28）
（2-29）
（2-30）
由以上三个方程，消去中间变量，可得
（2-31）
这也是一个二阶常系数微分方程式，说明RC串联电路是一个二阶对象。
以上通过推导，可以得到描述对象特性的微分方程式。对于其他类型的简单对象，也可以用这种方法来研究。但是，对于比较复杂的对象，用这种数学方法来研究就比较困难，而且所得微分方程式也不像上述那么简单。
三、实验建模
前面讨论了应用数学描述方法求取对象（或环节）的特性。虽然这种方法具有较大的普遍性，然而在化工生产中，许多对象的特性很复杂，往往很难通过内在机理的分析，直接得到描述对象特性的数学表达式，且这些表达式（一般是高阶微分方程式或偏微分方程式）也较难求解；另一方面，在这些推导的过程中，往往作了许多假定和假设，忽略了很多次要因素。但是在实际工作中，由于条件的变化，可能某些假定与实际不完全相符，或者有些原来次要的因素上升为不能忽略的因素，因此，要直接利用理论推导得到的对象特性作为合理设计自动控制系统的依据，往往是不可靠的。在实际工作中，常常用实验的方法来研究对象的特性，它可以比较可靠地得到对象的特性，也可以对通过机理分析得到的对象特性加以验证或修改。
所谓对象特性的实验测取法，就是在所要研究的对象上，加上一个人为的输入作用（输入量），然后，用仪表测取并记录表征对象特性的物理量（输出量）随时间变化的规律，得到一系列实验数据（或曲线）。这些数据或曲线就可以用来表示对象的特性。有时，为了进一步分析对象的特性，对这些数据或曲线再加以必要的数据处理，使之转化为描述对象特性的数学模型。
这种应用对象的输入输出的实测数据来决定其模型的结构和参数，通常称为系统辨识。它的主要特点是把被研究的对象视为一个黑匣子，完全从外部特性上来测试和描述它的动态特性，因此不需要深入了解其内部机理，特别是对于一些复杂的对象，实验建模比机理建模要简单和省力。
对象特性的实验测取法有很多种，这些方法往往是以所加输入形式的不同来区分的，下面作一简单的介绍。
1.阶跃反应曲线法
所谓测取对象的阶跃反应曲线，就是用实验的方法测取对象在阶跃输入作用下，输出量y随时间的变化规律。
例如要测取图2-7所示简单水槽的动态特性，这时，表征水槽工作状况的物理量是液位h，我们要测取输入流量Q1改变时，输出h的反应曲线。假定在时间t0之前，对象处于稳定状况，即输入流量Q1等于输出流量Q2，液位h维持不变。在t0时，突然开大进水阀，然后保持不变。Q1改变的幅度可以用流量仪表测得，假定为A。这时若用液位仪表测得h随时间的变化规律，便是简单水槽的反应曲线，如图2-8所示。
图2-7 简单水槽对象
图2-8 水槽的阶跃反应曲线
这种方法比较简单。如果输入量是流量，只要将阀门的开度作突然的改变，便可认为施加了阶跃干扰。因此不需要特殊的信号发生器，在装置上进行极为容易。输出参数的变化过程可以利用原来的仪表记录下来（若原来的仪表精度不符合要求，可改用具有高灵敏度的快速记录仪），不需要增加特殊仪器设备，测试工作量也不大。总的说来，阶跃反应曲线法是一种比较简易的动态特性测试方法。
这种方法也存在一些缺点。主要是对象在阶跃信号作用下，从不稳定到稳定一般所需时间较长，在这样长的时间内，对象不可避免要受到许多其他干扰因素的影响，因而测试精度受到限制。为了提高精度，就必须加大所施加的输入作用幅值，可是这样做就意味着对正常生产的影响增加，工艺上往往是不允许的。一般所加输入作用的大小是取额定值的5%～10%。因此，阶跃反应曲线法是一种简易但精度较差的对象特性测试方法。
2.矩形脉冲法
当对象处于稳定工况下，在时间t0突然加一阶跃干扰，幅值为A，到t1时突然除去阶跃干扰，这时测得的输出量y随时间的变化规律，称为对象的矩形脉冲特性，而这种形式的干扰称为矩形脉冲干扰，如图2-9所示。
图2-9 矩形脉冲特性曲线
用矩形脉冲干扰来测取对象特性时，由于加在对象上的干扰，经过一段时间后即被除去，因此干扰的幅值可取得比较大，以提高实验精度，对象的输出量又不至于长时间地偏离给定值，因而对正常生产影响较小。目前，这种方法也是测取对象动态特性的常用方法之一。
除了应用阶跃干扰与矩形脉冲干扰作为实验测取对象动态特性的输入信号形式外，还可以采用矩形脉冲波和正弦信号（分别见图2-10与图2-11）等来测取对象的动态特性，分别称为矩形脉冲波法与频率特性法。
图2-10 矩形脉冲波信号
图2-11 正弦信号
上述各种方法都有一个共同的特点，就是要在对象上人为地外加干扰作用（或称测试信号），这在一般的生产中是允许的，因为一般加的干扰量比较小，时间不太长，只要自动化人员与工艺人员密切配合，互相协作，根据现场的实际情况，合理地选择以上几种方法中的一种，是可以得到对象的动态特性的，从而为正确设计自动化系统创造有利的条件。由于对象动态特性对自动化工作有着非常重要的意义，因此只要有可能，就要创造条件，通过实验来获取对象的动态特性。
近年来，对于一些不宜施加人为干扰来测取特性的对象，可以根据在正常生产情况下长期积累下来的各种参数的记录数据或曲线，用随机理论进行分析和计算，来获取对象的特性。这在自动化技术及计算工具进一步发展的基础上，是一种研究对象特性的有效方法。为了提高测试精度和减少计算量，也可以利用专用的仪器，在系统中施加对正常生产基本上没有影响的一些特殊信号（例如伪随机信号），然后对系统的输入输出数据进行分析处理，可以比较准确地获得对象动态特性。
机理建模与实验建模各有其特点，目前一种比较实用的方法是将两者结合起来，称为混合建模。这种建模的途径是先由机理分析的方法提供数学模型的结构形式，然后对其中某些未知的或不确定的参数利用实测的方法给予确定。这种在已知模型结构的基础上，通过实测数据来确定其中的某些参数，称为参数估计。以换热器建模为例，可以先列写出其热量平衡方程式，而其中的换热系数K值等可以通过实测的试验数据来确定。