数学是否“完备”？

图灵三岁的时候是1915年。那一年是“神仙打架”之年，数学家大卫·希尔伯特在年底发表了演讲，题为“物理学的基础”，不为别的，正是为了“欺负”数学不好的爱因斯坦。当时，两人都在为广义相对论的引力场方程做最后的冲刺，但希尔伯特万万没想到，他为之自豪的数学，会因为两个年轻人而遭遇根本性的挑战。

在那个时期，世界正经历着巨变。

20世纪之前的很长一段时间，人类对世界的认知已经从“实践指导实践”进入“理论指导实践”。科学界认为，我们了解了某一时刻的宇宙，就能预测将来会发生什么，这就是统治了科学界数百年的因果律（causality）。所以当苹果砸到牛顿脑袋上的时候（这个事情本身存在不确定性），他想的并不是“上帝安排苹果砸下来的”，而是“苹果掉下来背后的原因”，这才有了万有引力以及后来的牛顿力学三大定律，近代科学的篇章被打开。在那之后的很长一段时间里，科学征服了世界，它的力量控制着一切人们所知的现象。古老的牛顿力学大厦历经岁月磨砺、风雨吹打，始终屹立不倒，从天上的行星到地上的石块，万物似乎都要一丝不苟地遵循着它制定的规则。

可是牛顿建立的“物理大厦”被“两朵乌云”笼罩，最终导致了量子论革命的爆发；“上帝的存在”也逐渐被达尔文的进化论和孟德尔的遗传学联手“搞没了”。人们开始再一次反思这个世界：究竟什么才是可靠的？上帝不万能，科学靠得住吗？达尔文说，科学是我们通过整理事实所总结出来的规律。它就可靠吗？

我们一靠近火，还没有碰到就被烤热了。每次靠近都热，所以靠近火就会被烤热，这是科学和客观的。换个人换个地方，还是会被烤热。为什么呢？几百年前大家没有科学理解，但不妨碍有这个科学发现。好吧，后来大家研究发现：哦，这是辐射，靠近火会造成分子运动速度加快，所以温度提高了。然后，我们发现在其他场景里辐射也会让物体分子运动速度加快，从而提高温度。

这就算靠谱了吗？根据大卫·休谟的说法，虽然每次我们观察到的都是这个结果，但是如果尚未发生的下一次，分子运动速度快了而温度没有提升，也没有问题啊。这就让人难以确定了。我们暂时不知道上帝什么时候靠得住，科学似乎也没有完全靠得住。靠谁呢？

希尔伯特给出的答案是：数学。

希尔伯特是20世纪最厉害的数学家之一，据说以他名字命名的数学名词多到连他自己都未必完全知道。1900年在巴黎举行的第二届国际数学家大会上，希尔伯特提出了23个数学难题，并把算术公理的相容性作为第二个问题提出。他在此基础上提出了希尔伯特计划，初衷很简单：他希望数学是完整的，也是可判定的，数学将建立在严谨的逻辑之上，成为比上帝和物理更靠谱的真理。

1928年，关于数学基础，他列出了三个亟待解决的问题。

第一个问题：数学是完备的吗？即能否基于有限的公理，对所有数学命题都进行证明或证否？

第二个问题：数学是一致的吗？即是否每个被证明的命题一定为真？会不会证明出来命题是错误的？

第三个问题：所有问题都是数学可判定的吗？即是否有明确的程序能在有限的时间内告诉我们每个命题的真假？

希尔伯特自然希望这三个问题的答案都是“是”。他在1930年的退休演讲中表示：我们必须知道，我们必将知道。

本以为这句话可以刻在墓志铭上，但没过多久他就知道了。退休后平静的日子仅过了一年，1931年，年仅25岁的天才哥德尔横空出世，通过一篇论文一下子解决了希尔伯特的前两个问题。

答案都是“否”。

也就是说，数学既不完备，也不一致。哥德尔先把所有的数学陈述和证明符号化，然后给每个符号串赋予一个数字，这个过程被称为“哥德尔配数法”，接着用纯数学工具依次证明了数学的这种不可能性。

但他这个方法还留了一个小口子，也就是第三个问题没有解决，所以，说不定还存在某种方法能够判定一个命题到底能不能被证明。

图灵表示，这太天真了。