1.1 命题与联结词

1.1.1 命题的概念

定义1.1.1 命题是用陈述句表示的一个或者为真或者为假，但不能同时既为真又为假的判断语句。

命题代表人们进行思维活动时的一种判断，或者是肯定，或者是否定，因此命题只能为真或假，把这种真假的结果称为命题的真值。如果命题的真值为真，称该命题为真命题，其真值可用“T”或“1”表示；如果命题的真值为假，称该命题为假命题，其真值可用“F”或“0”表示。

例1.1.1 判断下列句子哪些是命题？若是命题，判断其真值。

1）2+3=5。

2）2+3=6。

3）北京是中国的首都。

4）2013年5月1日是星期日。

5）3-x=5。

6）请关上门。

7）几点了？

8）除地球外的星球有生物。

9）多漂亮的花啊!

10）对每一对实数x、y，都有x+y=y+x。

解 1）、2）、3）、4）、8）、10）是命题，5）、6）、7）、9）不是命题。1）、3）、10）的真值为1，2）、4）的真值为0。8）是命题，能判断真假，且其真值是唯一确定的，只是目前人们不知道。5）不是命题，因为x是变元，它的真值不确定。6）是祈使句，7）是疑问句，9）是感叹句。祈使句、疑问句、感叹句表示的语义没有真假，所以6）、7）、9）都不是命题。

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注意：表示命题的陈述句可判断真假，具有唯一真值。悖论是陈述句，但不能判断其真假，因此不是命题。例如，“我只给所有不给自己理发的人理发”不是命题。

引入英文字母表示任意的命题，就像用字母表示数学变元那样。表示命题的符号称为命题变元，通常用p、q、r…或P、Q、R…来表示。命题变元没有真值，只有表示一个确定的命题后，才有真值。如用p表示命题“2+3=6”，这时p的真值为0，也可以用p表示命题“2+3=5”，这时p的真值为1。

定义1.1.2 表示命题的陈述语句如果不能分解为更简单的陈述语句，称为简单命题或原子命题；表示命题的陈述句由几个简单句和连词组合而成，称为复合命题。

本书中用小写英文字母表示简单命题，如用p表示简单命题“北京是中国的首都”。数理逻辑中定义了对应于自然语言中连词的联结词，通常用英文字母和联结词的组合表示复合命题。

定义1.1.3 用英文字母或英文字母和联结词的组合表示命题，称为命题的符号化。