2.1.2 量词

根据前面的叙述，当命题函数中所有变元均被赋值后，命题函数才成为命题。当把命题函数中的所有变元都量化后，也可使命题函数成为命题。例如：

1）这家公司所有员工都喜欢锻炼。

2）这家公司某些员工喜欢锻炼。

这两句都是命题，除了有个体词和谓词外，还有表示数量的词。这两句的个体词和谓词相同，个体域都是这家公司的员工。将个体域的每个个体代换个体变元后，可以判断其真假。当1）中每个个体代换后均为真，该命题的真值才为1，只要有一个个体代换后为假，该命题的真值就是0。当2）中有一个或多个个体代换后为真，该命题的真值就是1，只有当每个个体代换后均为假，该命题的真值才为0。因此，将这两个命题符号化时要使用表示数量的词。

定义2.1.5 表示个体常元或个体变元之间数量关系的词称为量词。量词有两种。

1）全称量词 符号为“∀”，∀x表示对个体域“所有的x”“每一个x”“一切x”等。

2）存在量词 符号为“∃”，∃x表示个体域中“存在这样的x”“某个x”“至少有一个x”或“有一些x”等。

∀xF（x）表示个体域中所有个体都有性质F，∃xF（x）表示个体域中存在个体有性质F。

例2.1.4 假设F（x）表示x喜欢锻炼，x的个体域是某家公司的员工，将上面的命题符号化。

解 1）这家公司所有员工都喜欢锻炼，可符号化为∀xF（x）。

2）这家公司某些员工喜欢锻炼，可符号化为∃xF（x）。

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这个例题中，F（x）是命题函数，∀xF（x）和∃xF（x）是命题。也就是说，命题可以通过将命题函数中的个体变元量化得到。

在使用量词时，不同的个体域中命题符号化的形式可能不一样。一般来说，没有特别说明时，以全总个体域为个体域。例如上面的例题中，当个体域是全总个体域时，1）不能符号化为∀xF（x），因为用宇宙中一切事物代换个体变元时，该命题的真值不为1。2）也不能符号化为∃xF（x），因为在宇宙的一切事物中存在具有性质F的个体，但这和题意是不相符的。原因是这两个命题的个体域只是全总个体域的子集。因此，需要引入一个新的谓词表示个体的取值范围。称这个表示个体范围的谓词为特性谓词。在命题符号化时，一定要正确使用特性谓词。

在例2.1.4中，如果个体的取值范围是全总个体域，则设特性谓词S（x）表示x是这个公司的员工，这样，1）符号化为∀x（S（x）→F（x）），2）符号化为：∃x（S（x）∧F（x））。

注意：在使用全称量词时，表示个体范围的特性谓词和表示个体性质的谓词构成条件关系式；在使用存在量词时，表示个体范围的特性谓词和表示个体性质的谓词构成合取关系式。

例2.1.5 个体域分别为人类集合、全总个体域，将下列命题符号化，并给出它们的真值。

1）人类都呼吸。

2）有的人用左手。

解 假设F（x）表示x呼吸，G（x）表示x用左手写字。

（1）个体域为人类集合

1）符号化为∀xF（x），真值为1。

2）符号化为∃xG（x），真值为1。

（2）个体域为全总个体域

因为全总个体域里包括人以外的东西，所以我们在这里引入谓词A（x）：x是人类。

1）符号化为∀x（A（x）→F（x）），真值为1。

2）符号化为∃x（A（x）∧G（x）），真值为1。

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例2.1.6 用谓词逻辑将下列命题符号化。

1）所有的教练员都是运动员。

2）这个班有些学生有智能手机。

3）没有不爱学习的华工人。

4）并非每个实数都是有理数。

5）某些大学生运动员是国家运动员。

6）有些大学生不钦佩运动员。

解 1）设A（x）表示x是教练员，B（x）表示x是运动员。则原命题可符号化为

∀x（A（x）→B（x））

2）设A（x）表示x是这个班的学生，B（x）表示x有智能手机。则原命题可符号化为

∃x（A（x）∧B（x））

3）设A（x）表示x是华工人，B（x）表示x爱学习，命题可符号化为

4）设A（x）表示x是实数，B（x）表示x是有理数。则原命题可符号化为

5）设A（x）表示x是大学生，B（x）表示x是运动员，C（x）表示x是国家选手。则原命题可符号化为

∃x（A（x）∧B（x）∧C（x））

6）设A（x）表示x是大学生，B（y）表示y是运动员，C（x，y）表示x钦佩y。则原命题可符号化为

∃x（A（x）∧ ∀y（B（y）→C（x，y）））

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以上各题中论述域都是全总个体域，因而都要引入特性谓词表示个体的取值范围。在全称量词后面的是表示个体范围的谓词和表示个体特征的谓词构成的条件式，在存在量词后面的是表示个体范围的谓词和表示个体特征的谓词构成的合取式。命题1）不可以表示成∀x（A（x）∧B（x）），因为∀x（A（x）∧B（x））表示所有的x都是正整数并且大于0，和题意不符。命题2）不能表示成∃x（A（x）→B（x）），因为不是这个班的有智能手机的学生代入也可使A（x）→B（x）为真。

当论述域中的元素个数有限时，例如，论述域为n个元素的集合{a₁，a₂，a₃，…，a_n}时，有

∀xA（x）⇔A（a₁）∧A（a₂）∧A（a₃）… ∧A（a_n）

∃xA（x）⇔A（a₁）∨A（a₂）∨A（a₃）… ∨A（a_n）

例2.1.7 假设个体域为D={-2,3,6}，谓词F（x）:x≤3，G（x）:x>5，R（x）:x≤7，求下列各式的真值：

1）∀xF（x）

2）∃xF（x）

3）∀x（F（x）∧G（x））

4）∀x（R（x）→F（x））∨G（5）

5）∃x（F（x）∨G（x））

解 1）∀xF（x）

⇔F（-2）∧F（3）∧F（6）

⇔1∧1∧0

⇔0

所以∀xF（x）为假。

2）∃xF（x）

⇔F（-2）∨F（3）∨F（6）

⇔1∨1∨0

⇔1

所以∃xF（x）为真。

3）∀x（F（x）∧G（x））

⇔（F（-2）∧G（-2））∧（F（3）∧G（3））∧（F（6）∧G（6））

⇔（1∧0）∧（1∧0）∧（0∧1）⇔0

所以∀x（F（x）∧G（x））为假。

4）∀x（R（x）→F（x））∨G（5）

⇔（（R（-2）→F（-2））∧（R（3）→F（3））∧（R（6）→F（6）））∨0

⇔（1→1）∧（1→1）∧（1→0）

⇔0

所以∀x（R（x）→F（x））∨G（5）为假。

5）∃x（F（x）∨G（x））

⇔∃xF（x）∨∃xG（x）量词分配等价式

⇔（F（-2）∨F（3）∨F（6））∨（G（-2）∨G（3）∨G（6））

⇔（1∨1∨0）∨（0∨0∨1）⇔1

所以∃x（F（x）∨G（x））为真。

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根据上面的例题，可以得出如下结论。

1）在不同的个体域内，同一个命题的符号化形式可能不同，也可能相同。

2）同一命题，在不同的个体域中的真值可能不同，也可能相同。

3）全称量词后跟的是由特性谓词和谓词组成的条件式，存在量词后跟的是由特性谓词和谓词组成的合取式。

4）P（x）不是命题，当x用个体常元代替，或用量词量化为∀xP（x）和∃xP（x）时，则成为命题。

5）对含多个个体变元的命题函数，要对每一个个体变元量化或用个体常元代换，才能转变为命题。因而，会同时出现多个量词。除非所有量词都是全称量词或存在量词，否则，在多个量词同时出现时，不能随意颠倒量词的顺序，颠倒后会改变原命题的含义。

例2.1.8 对个体域{1，2}，判定下列公式的真值，E（x）表示“x是偶数”。

1）

2）

3）∀x（E（x）∧x=1）

4）∀x（E（x）→x=1）

解 1）第一个命题的含义是对于任意x，如果x是偶数，则x不等于1，个体域中只有2是偶数，为真命题。

2）第二个命题的含义是存在x为偶数，且x不等于1。2满足条件，所以这是真命题。

3）第三个命题的含义是对于任意x，x都是偶数且等于1，这显然是错误的，是假命题。

4）第四个命题的含义为对于任意x，如果x为偶数，则x等于1，当x为1时，E（1）→1=1为真，当x为2时，E（2）→2=1为假，所以此命题为假。

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