在力的作用下物体的动能怎么改变？
——介绍能量守恒与动量守恒

摘要：本节将通过牛顿定律推导出物体的动能定理和动量定理，并解释能量守恒和动量守恒，然后应用于刚体球的弹性碰撞和飞船逃逸速度的计算。

上节课我们已经介绍了牛顿三大运动定律，并以此计算了卫星绕地球的运动。本节课将继续介绍更多关于物体运动的重要概念及其满足的规律。虽然这些新的概念与规律在这里似乎只是牛顿定律的衍生物，但实际上它们甚至比牛顿定律更加普适，能应用于超出经典力学之外更加广泛的物理理论，所以它们在物理学中具有重要地位。

一、动能定理和动量定理

牛顿第二定律，其中是质点受到的力，m是质点质量，是质点的加速度。本节主要考虑一维情形，所以有，其中x是质点的位移。

力学中“功”的定义是什么？选取x方向为正方向，质点在力F的作用下运动了的距离，这个力对质点做的功就是。如果运动的距离不是无穷小，就要用到积分来求这个力所做的功。假设质点在力F的作用下从运动到了，速度从变到了，借助牛顿第二定律，有：

而速度为、质量为m的质点的动能定义为，所以上式表明，力对物体做的功等于物体动能的改变量，这就是动能定理。这是能量守恒定律的一个表现。力对质点做的功就是力输入给质点的能量，这部分能量转化为质点的动能。

接下来，我们来介绍力的冲量。假设力F作用在质点上用时dr，那么就是在dr时间内力F对质点的冲量。如果作用时间不是无穷小，同样需要利用积分来求冲量。借助牛顿第二定律，有：

速度为、质量为m的质点的动量定义为mv，所以上式的物理意义是，力对质点的冲量等于质点动量的改变量。这是动量守恒定理的一个表现，物体通过力的作用来互相传递动量，传递的动量大小就等于冲量。

对于只包含两个质点的系统，假设它们之间有力的作用，那么根据动量定理与冲量定理，质点1受到的力所做的功等于质点1的动能改变量，而这个力的冲量等于质点1的动量改变量。根据牛顿第三定律，质点2会受到一个大小相等、方向相反的力，于是质点2的动能和动量也会改变，并且动量的改变量刚好是质点1动量改变量的相反数，从而两者的动量总和不变。这就是动量守恒定律。

另外，如果系统不存在耗散，则相差的这部分动能会和系统的势能改变量相抵消，定义机械能为势能与动能的总和，那么机械能是守恒的。

总的来说，当系统不受外力作用时，系统的总动量不变，即动量守恒；当系统不受外力作用，也没有热耗散时，机械能也是守恒的。运用这两个守恒律，往往可以化简复杂力学过程的计算，并简明扼要地直接得到需要的结果。

二、刚体球的弹性碰撞

假设光滑平面上有两个质量分别为m1和m2的刚体球，将其看成质点。第一个刚体球的速度是，方向朝向第二个刚体球，而初始时刻第二个刚体球静止。第一个刚体球运动一段时间后会和第二个刚体球发生碰撞，严格来讲，这里描述的是一维碰撞。这里假设碰撞是弹性的，没有机械能的耗散。碰撞之后两个球的速度分别是和，根据动能守恒和动量守恒，有：

（2）

（3）

将式（3）两边除以m1，并令，得到：

（4）

接着将式（2）两边除以，并将速度之间的关系式（4）代入其中替代掉v，可得：

两边消掉，然后除以，得到：

如果想直接求解和，可以将这个结果和前面的动量守恒式子联立起来得到一组二元线性方程。当时，，，所以第一个刚体球的动量全部转移到第二个刚体球上，两个球的运动状态刚好互相交换。当时，，也就是说第一个刚体球被反弹了回来，这是符合直觉的，比如把第二个刚体球看成是一面墙，这时m2等同于无穷大，那么一个刚体球撞到墙上肯定会反弹回来。

虽然牛顿力学的基本对象是质点和力，但是处理这个碰撞问题时完全没用到力。碰撞之间发生的力是很复杂的，有时甚至无从知晓。如果从求解运动方程入手，那么这个问题根本无法求解。相反，借助能量守恒和动量守恒，这个问题得到了极大的简化。在物理学中经常会用到守恒量来求解问题。

三、第一宇宙速度和第二宇宙速度

接下来推导地球的第一宇宙速度和第二宇宙速度。第一宇宙速度被定义为近地环绕地球的最小速度，第二宇宙速度是从地面发射逃逸地球引力束缚的最小速度，也被称为逃逸速度。

上节课已知匀速圆周运动的加速度，r是轨迹半径。假设卫星质量为m，以第一宇宙速度紧贴地面飞行，根据牛顿第二定律和引力公式，有：

其中M和R分别是地球的质量和半径。由于地表附近重力，所以，代入上式可得：

这就是第一宇宙速度。环绕速度随着距离的增大而减小，因此天空更高处的卫星的速度会小于。

假设卫星一开始在地球表面附近，当它以速度沿水平方向运动时，它会绕着地球做圆周运动。当初始速度大于时，它会做椭圆运动，并且离地球最远点会随着初速度的增大而变得越来越远。可见，这里存在一个速度值，当卫星以这个速度飞出，将能飞到无穷远处。这个速度可以通过动能定理或能量守恒定律推导出来。取最简单的情况，假设卫星沿径向飞出，并且飞到无穷远时速度刚好降到0，根据动能定理，有：

完成上式左边的积分可得到：

化简得到：

这就是第二宇宙速度。这个结果不仅适用于沿径向飞出的情况，沿其他角度飞出的情况也同样适用，当然，前提是沿这个方向没有让卫星直接撞上地球。

除了直接用动能定理来计算第二宇宙速度，我们也可以用能量守恒定律来计算。如果卫星不是飞到无穷远，而是从飞到，那么由动能定理可得：

（5）

若我们定义卫星在r处的重力势能为，那么由式（5）可知，卫星在运动过程中始终保持着机械能守恒：

现在我们对卫星从地球表面处飞到无穷远处的过程应用能量守恒定律：

（6）

第二宇宙速度是卫星能从地表到达无穷远处的最小速度，即上式中的最小值，显然当时，取得最小值，此时根据公式可得到第二宇宙速度满足的方程：

与上面用动能定理计算的结果一模一样。

小结

本节课利用牛顿定律导出了动能定理与动量定理，并进一步用动量定理导出了动量守恒定律，能量守恒定律则是通过一些实例来展现，之后的课程我们会更加严格地定义势能，来直接证明能量守恒。虽然我们的出发点是牛顿三大定律，但实际上能量守恒与动量守恒不仅仅适用于牛顿力学，它于量子力学、狭义相对论、热力学和统计力学等更加深奥复杂的理论都是成立的。这两个守恒律是普适的物理规律，我们将在之后的课程中体会到它们的重要性。

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