2.2.3 静止液体微分方程的应用

1.静止液体受力情况

已知静止的液体所受质量力只有重力，液面压力为p₀，如图2-4所示，求静止液体的压力分布。

将X=Y=0，Z=-g代入式（2-10）并整理，可得

dp=-ρgdz

对上式积分，可得

当z=0时p=p₀，可得C=p₀，则有p=-ρgz+p₀

将z=h代入上式，得

式（2-12）为在重力作用下静止液体内任一点上的压力分布规律。该压力分布规律具有如下特性：

（1）在重力作用下静止液体内任一点上的压力由两部分组成，p₀为表面力引起的压力，ρgh为质量力产生的压力。

（2）在同一深度上各点压力相等。压力相等的面称为等压面。重力作用下静止液体的等压面为水平面。

（3）在液压传动技术中，由于ρgh＜＜p（p为液压系统的工作压力），因此在一般情况下不考虑位置对静压产生的影响。例如，当h=10m，g=9.81m/s2，ρ=900kg/m3时，ρgh=0.088MPa，液压系统压力p值比这个计算值大得多，因而质量力产生的压力可忽略不计。

2.作匀加速直线运动的容器中的液体受力情况

在图2-5所示的小车容器内装有液体，当小车加速时，液体向后移动，使液面呈倾斜面。将坐标系xOz建立在小车上，仍可用静止液体的平衡微分方程求解。但此时的坐标系为非惯性坐标系，液体所受的体积力除重力外还有惯性力。

1）压力分布

将X=a，Y=0，Z=-g代入式（2-9）得

整理后可得

dp=-ρadx-ρgdz

对上式进行积分，可得

p=-ρax-ρgz+C

当x=0，z=0时，可得C=p₀，则有

2）等压面和自由液面

在液体中，压力相等的点所组成的面称为等压面，和大气接触的液面称为自由液面。

令式（2-13）的p=C₁，则有

ax+gz=(p₀-C₁)/ρ=C₂

由此可知，液体作匀加速直线运动时等压面为倾斜面，自由液面是p=p₀时的倾斜等压面。

3.以等角速度旋转的容器中的液体受力情况

1）压力分布

如图2-6所示，一个圆柱形容器内装有液体，以等角速度ω绕着z轴旋转，其液面呈稳定的曲面。将坐标系建立在容器上，可用静力学平衡方程求解，但此时的坐标系属于非惯性坐标系，要引入惯性力，这时液体所受的体积力除重力外还有离心力。

将X=ω2x，Y=ω2y，Z=-g代入式（2-9）可得

整理上式，可得

dp=ρω2xdx+ρω2ydy-ρgdz

对上式进行积分，可得

利用边界条件（当x=y=z=0时C=p₀）则有

2）等压面和自由液面

由式（2-14）可知，液体作等角速度旋转时的等压面和自由液面是回转抛物面。