6.6　超对称-杨尔米斯理论简介

开超弦理论在低能条件下与超对称杨-米尔斯理论相似。这样的理论在D-维时空中由下述形式的作用量来描述：

式中，是非阿贝尔场强，它由矢量势构成：

场和都是伴随表示中的半单李群，符号D表示杨-米尔斯协变导数，有

由旋量场描述的物理费米子模式数目是2的幂，依赖于时空维数和旋量类型（狄拉克旋量、马约拉纳旋量、外尔旋量等）。事实上，SO(n)的旋量表示具有的维数总是2的幂。矢量描述(D-2)-维物理模，该模对应于各种可能的横向极化。超对称要求物理玻色子和费米子的模数相等。于是，无须增加任何其他场的最小拉格朗日量，式（6.6.1）的对称性要求D-2应该是2的幂。其中D-2的第一种情况是，2的幂为D=3,4,6,10。上述情况的证明是很有趣的。

当D=3时，马约拉纳旋量有1个物理模式，D=4时有2个；当D=6时，外尔旋量有4个物理模式，D=10时有8个。对于D-2的每一种情况，这些数都完全一致，并且在这4种情况中，最小拉格朗日量可以是超对称的。任何旋量的分量大于10的数都大大超过物理模数，这时杨-米尔斯理论不存在。

若使正比于的项在任何维度中都消失，则保持式（6.6.1）不变的超对称变换是

更微妙的是与成正比的项。协变导数中A场的变化给出了形如下式的项：

这是具有3个场的唯一项，是在作用量的变化中产生的。如果超对称成立，它必须消失。值得注意的是，利用的总体反对称性可以证明，对于上面列出的D=3,4,6,10这4种类型的旋量事实上消失。

现在证明，我们对D=10的马约拉纳-外尔旋量是最感兴趣的。从式（6.6.5）中清除旋量，并且利用的反对称性，证明：

消失。这里我们可以假设旋量指标m、n、p和q全都被投影到正手征，尽管我们没有明显地写出投影算符，因为式（6.6.5）中的旋量全部是外尔旋量。我们还要注意，式（6.6.6）中的是一个对称矩阵，第二项和第三项在下相互交换，所以全部表达式具有对称性。

为了使式（6.6.6）为零，我们把表达式看作由m和n标签的矩阵，把p和q看作附加标签。另外我们可以伴随反对易旋量得到

一个任意矩阵可在一套完全基（k=0,1,2,…,10）中展开。因此，证明式（6.6.7）消失的有效措施是证明每种类型的项消失。首先注意k为偶数的项由于外尔投影而消失。此外，恒等式：

以及Г11因为外尔旋量而丢弃的事实意味着仅k≤5的项需要考虑，而这个张量可以分解为一个自对偶部分和一个反自对偶部分，其中只有一个贡献。进一步知，是对称的，而是反对称的。因此，我们仅需要考虑k=1和k=5两项。核查这项计算，注意对称的16×16矩阵具有

个分量。

用乘以式（6.6.7），并且收缩指标，可得

成立，它没有部分。重复，可得

然而，在D-维时空中，有

取D=10和k=5，可看到式（6.6.11）消失。