4 消力池水力设计
4.1 基本方程及其解
在通过流量为Q时，对矩形的平底消力池，设水跃收缩断面的水深和宽度分别为h1和b1，跃后断面的水深和宽度分别为h2和b2，侧墙沿流向对水流的作用力为Pb，水流在收缩断面和跃后断面的动量改正系数分别为αd1和αd2，水的容重为γ，根据动量定理得到的水跃方程为
设侧墙的水压力成线性变化，即
此假设与试验结果较吻合，初步分析误差在±3%以内［4］。令q2=Q/b2，则式（5）变为
则式（7）可写成
这是可直接套用公式求解的、缺二次项的一元三次方程。由于A＞0，方程有三个实根，一般其判别式
＜0，方程有用的正根可由三角函数表示[3]，即
若不考虑侧墙的推力，即Pb=0，仍可用式（9）和式（10）进行计算，但有
4.2 几种特殊情况
（1）对等宽矩形消力池，在式（6）中令b1=b2，q=q2得
h 2仍可用式（9）计算，其中
这就是等宽矩形断面、但跃前和跃后动量改正系数不等的平底水跃方程。
（2）略去侧墙沿流向的作用力，且假设跃前和跃后的动量改正系数相同，即Pb=0和αd1=αd2=αd，则式（5）变成
若再近似取
，令弗汝德数
，由式 （13a）可得
（3）若令αd=1，则式（14）变成
这就是《溢洪道设计规范》（SL 253—2000）关于水跃第二共轭水深的计算式。
（4）对等宽消力池，若αd1=αd2=αd，则水跃基本方程［式（5）］变成
这就是通常在水力学教科书及设计手册中介绍的不扩散平底水跃方程的第二共轭水深的计算式。
（5）堤防上的排水闸为减少进入河道的单宽流量，往往需采用扩散式消力池，《水闸设计规范》（SL 265—2001）中的水跃第二共轭水深计算式为
笔者尚未考证出此式推导的假设和依据。
4.3 实例
设有一水闸工程，矩形消力池进口宽为b1=30m，出口宽为b2=40m，h1=1m，通过流量为600m3/s和450m3/s时，不同方法计算得到的h2见表1。
表1 不同方法计算的第二共轭水深h2
对于矩形断面的扩散消力池，从上述分析推导过程和表1可见以下几点：
（1）从式（5）和表1可见，由于水闸的收缩断面往往出现在闸墩之后，对不会出现水流脱壁的扩散式消力池，如忽略池壁的水压力，计算h2偏小超过7%；已有研究表明，当消力池前后宽度相差较大时，如忽略此项水压力，有可能使求得的h2偏小超过10%［4］。故忽略扩散式消力池池壁的水压力来计算第二共轭水深是不安全的。
（2）由于实际动量改正系数αd>1，如为简化计算取αd=1，则计算得到的h2亦偏小。以等截面矩形平底水跃为例，αd取1.0与1.05对h2/h1的影响见表2。
表2 动量改正系数αd取值对h2/h1的影响
（3）对江河上的水闸，即使用扩散式消力池，池末的宽度与始端的宽度相差不远，可近似地当成（很多工程直接布置成）等宽消力池。若αd1=αd2=αd，且进、出口的垂线流速分布接近对数曲线时，可用式（16）计算第二共轭水深。
（4）采用式（14a）计算扩散式消力池的第二共轭水深h2严重偏小，建议慎用。
（5）用式（17）计算的扩散式消力池第二共轭水深h2，与假设侧墙水压力呈直线分布的计算结果比较吻合。但它推导的前提笔者尚未考证出，希望有更多的工程实例进一步进行对比验证。