2.1 以应力传递机理为基础的有效应力表达式_非饱和特殊土的工程特性及应用-QQ阅读中文科幻网

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2.1　以应力传递机理为基础的有效应力表达式

非饱和土同饱和土相比，增加了孔隙气体的影响、表面张力的影响、以胶结力和嵌固力为主的结构强度的影响以及渗析吸力的影响等。考虑这些影响因素是建立单应力变量有效应力表达式的基础，正是本研究的重点，而著名的Bishop有效应力公式却忽略了这些非常重要的方面。

2.1.1　非饱和土中力传递机理分析

非饱和土受到的外荷作用力F，将由土骨架、孔隙水和孔隙气共同承担。首先，对于非饱和土的骨架应该理解为由土粒及收缩膜（挂在土粒上）组成的系统。由它传递的力应体现表面张力（T）、胶结力（C）、嵌固力（E），这些阻碍土变形的力以及有效应力（Ω），这种促使变形的力的复杂作用，即可以分为上述四类力（T、C、E及Ω）来考虑。表面张力作用在收缩膜与土粒的接触点上及切向方向，胶结力、嵌固力和有效应力均作用在土粒与土粒的接触点上，其作用方向与土骨架的不同结构有关。但无论如何，这些力都可以由它们在其接触点上的竖向分力（TV、CV、EV、ΩV）、横向分力（TH、CH、EH、ΩH）和侧向分力（TL、CL、EL、ΩL）来反映，并一起来代表土骨架传递荷载Fs的竖向分力、横向分力和侧向分力。对任一个接触点i来说，即有

其次，对任一个孔隙j来说，孔隙水承受的力一般为孔隙水压力uw，它们作用在骨架间孔隙中水与土粒的接触面上。当有渗析作用存在时，这个孔隙水压力将因渗析影响而变为uw-γwhc。渗吸水头hc决定于孔隙水的化学成分与纯水间差异的大小。它们在收缩膜的水相一侧作用，其方向可以视为非偏应力，即有

式中：AwV、AwH、AwL为孔隙水竖向分力、横向分力和侧向分力的作用面积。

孔隙气承受的力一般为孔隙气压力ua，它作用在收缩膜的气相一侧土骨架孔隙中气与土粒的接触面上，同样可以视为非偏应力，故有

式中：AaV、AaH、AaL为孔隙气竖向分力、横向分力和侧向分力的作用面积。

因此，如果土中任一点上作用的外荷为FV、FH和FL，则可写出如下的平衡条件，即

式中：n、m为考虑的土单元中土粒接触点个数和孔隙的个数。

式（2.7）为研究非饱和土中应力作用关系的基础。

2.1.2　从土单元体出发推导非饱和土有效应力公式

为了使问题简单化，这里只研究主应力空间上的非饱和土的应力变化。同时主要考察方向情况，根据y方向的结果推广到其他方向。

1.作用于土单元上的合力

根据图2.1，可得以下公式。

x方向上的合力为

z方向上的合力为

图2.1　作用于无限小土单元上的合力

y方向上的合力为

2.土的孔隙和密度关系

各相体积率的和等于1，即

式中：na、nw、nc、ns为气相、水相、收缩膜和土粒的体积率。

同样的，土的总密度ρ可写成各相的密度和，即

式中：Ma、Mw、Mc、Ms为气相、水相、收缩膜和土粒的质量；V为土的总体积。

式中：va、vw、vc、vs为气相、水相、收缩膜和土粒体积；ρa、ρw、ρc、ρs为气相、水相、收缩膜和土粒的密度。

3.水相在y方向上的合力

水相在y方向上的作用力，如图2.2所示。

式中：uw为孔隙水压力；hc为渗析水头；为在y方向上水相与土粒之间的相互作用力；为在y方向上水相与收缩膜之间的相互作用力。

4.气相在y方向的合力

气相在y方向上的作用力，如图2.3所示。

图2.2　水相在y方向上的作用力

图2.3　气相在y方向上的作用力

式中：ua为孔隙气压力；为在y方向上气相与土粒之间的相互作用力；为在y方向上气相与收缩膜之间的相互作用力。

5.收缩膜在y方向上的合力

在图2.4中，A、L、Rs和t为收缩膜的水平表面积、周长、竖截面的曲率半径和厚度。

图2.4　基质吸力变化和土骨架平衡对收缩膜有关应力的影响

（1）初始基质吸力状态。

如图2.4（a）所示，沿收缩膜周长作用的所有法向分力Tv的合力称为Xv，即

Xv作用在为水平面所切割的收缩膜横截面积Lt（t为收缩膜厚度）上。因此，作用于收缩膜横截面积上的法向应力可以写成

（2）土骨架为可压缩（即A变为A*）情况下基质吸力变化影响，如图2.4（b）所示，A变成A*，L变为L*，α变为α'，Rs变为。

法向表面张力的合力为

作用于收缩膜横截面积上的法向应力为

式（2.21）可改写为

式中：为土骨架平衡和收缩膜平衡之间的相互作用函数。

式中：为收缩膜中的最终法向应力；为收缩膜中的初始法向应力；为相互作用函数的变化。

根据式（2.24），收缩膜在y方向上的合力为（图2.5）

6.结构强度在y方向上的合力

如用cv和ev分别表示单位体积内的平均胶结力和嵌固力，那么反映这两种结构力的合力称为结构强度，用σ0表示，即σ0=cv+ev。结构强度在y方向上的合力见式（2.26），在y方向上的作用情况见图2.6。

图2.5　收缩膜在y方向上的合力

图2.6　结构强度在y方向上的合力

7.非饱和土单元体力的平衡

在y方向上力的平衡可以采用力的叠加原理求得，即

将式（2.14）、式（2.11）代入式（2.28），有

同理可得x方向的平衡方程为

z方向的平衡方程为

8.非饱和土有效应力

对式（2.29）进行积分，有

通过积分整理，得

式中：V0为单元土体的体积；Axz为在y方向上力的作用面积。式（2.32）方括号中各项都是关于土颗粒和收缩膜在y方向上的作用力，假若收缩膜是挂在土颗粒上，作为固项的一部分，那么该括号中内容为作用土骨架的应力。实际就是有效应力，对于y方向为大主应力方向的情况，式（2.32）可以写为

同理可推出

式（2.33）～式（2.35）就是要求的有效应力表达式，它还可写成

式（2.36）中系数为

式中：为，其物理意义为非饱和土结构强度在各自主应力方向的影响；为nw，其物理意义为孔隙水的体积率；为，其物理意义为渗析吸力在各自主应力方向上的影响；为，其物理意义为收缩膜的表面张力在各自主应力方向上的影响。

2.1.3　从土颗粒传递应力出发推导非饱和土有效应力公式

图2.7　非饱和土的颗粒示意图

如果将上述力的传递机理在VH平面内用图示出，则可以从图2.7所示非饱和土的示意图中取出任意两个颗粒A和B，它们所受的作用力可由图2.8表示（图中由土骨架所传递的力只在一个接触点上示出，在其他点上类同）。

为了研究非饱和土中任一水平面上的应力，即竖向力的作用，当令，并取Av=1时，有，如图2.9所示。由于表面张力ts（收缩膜与土粒单位接触长度上的力）与膜的曲率半径Rs以及膜两侧的压力差（ua-uw）有关，当收缩膜为二维曲面时，这种关系为（ua-uw）=ts/Rs，故当收缩膜为鞍形的翘曲面（三维薄膜）时，上式可应用拉普拉斯方程延伸为

图2.8　非饱和土颗粒A和B受力示意图

式中：R1和R2为翘曲薄膜在正交平面上的曲率半径。如此曲率半径是各向等值的，即R1=R2=Rs，则（ua-uw）=2ts/Rs，即

图2.9　非饱和土中任一水平面上的应力

如在非饱和土的单位面积内收缩膜与土粒的接触长度为α，则表面张力常写为

至此，如用cv和ev分别表示单位面积内的平均胶结力和平均嵌固力，则式（2.4）可写为

考虑非饱和土某一水平面（总面积为Av）上的平衡条件，即可得

根据有效应力为能够使土发生变形的应力这一定义，并将其从平均意义上来考虑时，有效应力为，故有

如令cv+ev=σ0，即结构强度中由胶结力和嵌固力形成的部分则有

进一步整理有效应力时，可得

令

则有

虽然式（2.40）是由图2.9所示的一个特定面积A上力的平衡关系得出的，但这种形式对该平面上任意的面积都是存在的，只是在量上会因土颗粒和水汽面积等的不同而有所差异。当按土力学中常用的平均概念处理问题时，非饱和土的有效应力仍可采用式（2.39）的表达式，并从宏观上的力学特性求取式中的参数，即

其中：

式（2.39）和式（2.42）中的各种χ值并不需要去一一测定，但它对理解和分析式（2.41）中的物理概念十分重要。可以看出，如限定在Bishop讨论的条件下，即，则得到了Bishop公式，且在0～1范围内变化，干土时等于0，饱和土时等于1；至于值，因其与土的结构强度相联系，一般总是一个正值，其界限随结构强度增大而增大，可以大于1，只在像湿陷性黄土浸水那样结构突然失稳的情况下，这个值可能成为负值，从而使有效应力增大，与发生湿陷现象相一致；对于值，因αv，即单位面积内水汽交界面的周长为正值，视含水率虽有较大的变化，但为Rsv（即孔隙半径）值时，一般黏性土为0.1μ量级，故变化范围不大，对系数在总体上的影响相对较小；值的大小全赖于渗透吸力水头，对于膨胀土，一方面在低含水率时土受到强的收缩应力而得较大的σ0，即较大的；另一方面，当土吸水接近饱和后，除因蒸发收缩时损失掉的水分要得到补充而使基质吸力减小，即减小外，在有外界纯净水向土中移动补充的条件下，渗透吸力的水头随即降低，值也减小。这两项的减小使有效应力降低，引起土的膨胀。因此，新的有效应力表达式也可反映胀缩土的特性。

这就表明，参数与土粒间的胶结力、嵌固力、吸力、表面张力以及渗析力都有关系，其值不受0～1或正和负的限制，完全视不同土中各因素影响的相对大小而定。值的这种特性以及其前面负号的存在，是这里有效应力表达式与Bishop公式的根本区别。

仿照同样的方法，侧向和横向作用力得到

应该指出，由式（2.41）和式（2.43）可见，与和是不相同的，因为在不同方向上的推导中，、α、Rs、σ0（即c与e之和）等的值均不相同，而且它们都只能在平均意义上来理解，通过宏观的试验来综合确定。

应该看到，在上述推导中，如果将V、H、L视为土中任意3个互相垂直的方向，其结果即式（2.41）和式（2.43）的形式将不会发生任何变化。因此，可以更一般地写成

2.1.4　从收缩膜传递应力出发推导非饱和土有效应力公式

如果从非饱和土示意图2.7中任取两个土颗粒A和B，则在土颗粒B上所受的作用力可由图2.8表示。在土颗粒A上作用的力形式与土颗粒B上受力形式类同。若将上方收缩膜取出在平面上研究，收缩膜受力情况如图2.10所示，这里只研究V方向的情况。

图2.10　收缩膜上的作用力

在外力Fv作用下，图2.10所示力的平衡可写成

式中：

式（2.46）的各项意义与式（2.38a）完全相同。通过整理可得到与式（2.39）～式（2.42）完全相等的表达式，同理还可得到与式（2.43）完全相等的表达式。最后若在主应力空间表示式（2.41）和式（2.43），那么可得到与式（2.44）完全相等的表达式，即

2.1.5　三种方法推导的有效应力公式比较

从土单元体出发、从土颗粒传递应力出发和从收缩膜传递应力出发都可推导出有效应力公式，其特点有以下几个方面。

（1）三种方法推导出的表达式完全相同，见式（2.36）、式（2.44）和式（2.47）。

（2）后两种方法力的传递机理完全相等，所以得到的有效应力参数完全相等。

（3）第一种方法和后两种方法推导过程和思路相差较大，但得到的结果却相同，分析它们各自系数的物理意义就更加明确；第一种方法推导的式（2.33）系数为，第二种和第三种方法推导的式（2.39）系数为，两个系数第一项都表示非饱和土结构胶结力和嵌固力为主的结构强度的影响，而且表示形式完全相同；第二项表示孔隙水的影响；第三项表示形式也相同，反映渗析吸力的影响，第四项都是表示挂在土颗粒上的收缩膜产生的影响。中nc为收缩膜的体积率，为土骨架平衡与收缩膜平衡之间的相互作用函数。也就是在外力作用下土骨架发生了变化，初始状态的收缩膜也要发生变化，这时在收缩膜厚度t不变条件下水平表面积A变成A*、水平所截收缩膜周长L变成L*、表面张力作用方向角α变为α″、收缩膜曲率半径Rs变为的情况下，收缩膜水平表面A*与水平面所切割的收缩膜横截面积L*t之比。该项充分表现了收缩膜物理现状发生变化各要素的综合效应。中α表示单位面积内收缩膜与土颗粒的接触长度，Rs表示收缩膜的曲率半径。该项表示了收缩膜初始状态要素的影响。