3.6 结论与讨论
3.6.1 本章的主要结论
在本章中，我们首先观察了细长杆件在轴向载荷作用下的变形，假设了横截面上应力的分布情况，之后应用平衡条件，得到了轴向载荷下杆件横截面上正应力的表达式。这一过程也是材料力学分析问题的典型过程。
对于变形体力学，任一截面上的应力大小及方向均为无限多的静不定问题，单纯依靠平衡条件是得不到准确的应力分布表达式的。任何变形形式，均要通过变形分析确定应力分布。对于材料力学来说，首先需要通过实验观察构件表面变形情况，进而对构件内部的变形进行合理假定，再应用物体的应力应变关系（胡克定律）和平衡条件，最终得到横截面上的应力分布表达式。这个过程在后面的圆轴扭转及平面弯曲应力分析中也有所体现。
3.6.2 轴向拉伸和压缩应力和变形公式的应用条件
本章得到了承受拉伸或压缩时杆件横截面上的正应力公式与变形公式
其中，正应力公式只有杆件沿轴线方向均匀变形时，才是适用的。怎样从受力或内力判断杆件沿轴向方向变形是均匀的呢？这一问题请读者结合图3-17中的问题加以分析和总结。
图3-17 拉伸与压缩正应力公式的适用性
图3-17中所示的杆件上哪些横截面上的正应力可以应用σ=
计算？哪些横截面则不能应用上述公式？
对于变形公式Δl=
，应用时有两点必须注意：一是因为导出这一公式时应用了胡克定律，因此，只有杆件在弹性范围内加载时，才能应用上述公式计算杆件的变形；二是公式中的FN为一段杆件内的轴力，只有当杆件仅在两端受力时FN才等于外力FP。当杆件上有多个外力作用时，则必须先计算各段轴力，再分段计算变形，然后按代数值相加。
读者还可以思考：为什么变形公式只适用于弹性范围，而正应力公式就没有弹性范围的限制呢。
3.6.3 加力点附近区域的应力分布
前面已经提到拉伸和压缩时的正应力公式，只有在杆件沿轴线方向的变形均匀时，横截面上正应力均匀分布才是正确的。因此，对杆件端部的加载方式有一定的要求。
当杆端承受集中载荷或其他非均匀分布载荷时，并非所有杆件横截面都能保持平面，从而产生均匀的轴向变形。这种情形下，上述正应力公式不是对杆件上的所有横截面都适用。
考察图3-18（a）所示为橡胶拉杆模型，为观察各处的变形大小，加载前在杆表面画上小方格。当集中力通过刚性平板施加于杆件时，若平板与杆端面的摩擦极小，则这时杆的各横截面均发生均匀轴向变形，如图3-18（b）所示。若载荷通过尖楔块施加于杆端，则在加力点附近区域的变形是不均匀的：一是横截面不再保持平面；二是越是接近加力点的小方格变形越大，如图3-18（c）所示。但是，距加力点稍远处，轴向变形依然是均匀的，因此在这些区域，正应力公式仍然成立。
图3-18 加力点附近局部变形的不均匀性
上述分析表明：如果杆端两种外加力静力学等效，则距离加力点稍远处，静力学等效对应力分布的影响很小，可以忽略不计。这一思想最早是由法国科学家圣维南（Saint-Venant，A.J.C.B.de）于1855年到1856年研究弹性力学问题时提出的。1885年布森涅斯克（Boussinesq，J.V.）将这一思想加以推广，并称为圣维南原理（Saint-Venant principle）。当然，圣维南原理也有不适用的情形，这已超出本书的范围。
*3.6.4 应力集中的概念
上面的分析说明，在加力点的附近区域，由于局部变形，应力的数值会比一般截面上大。
除此以外，当构件的几何形状不连续（discontinuity），诸如开孔或截面突变等处，也会产生很高的局部应力（localized stresses）。图3-19（a）所示为开孔板条承受轴向载荷时，通过孔中心线的截面上的应力分布。图3-19（b）所示为轴向加载的变宽度矩形截面板条，在宽度突变处截面上的应力分布。几何形状不连续处应力局部增大的现象，称为应力集中（stressconcentration）。
图3-19 几何形状不连续处的应力集中现象
应力集中的程度用应力集中因数描述。应力集中处横截面上的应力最大值σmax与不考虑应力集中时的应力值σn（名义应力）之比，称为应力集中因数（factorofstress concentration），用K表示
习题
3-1 图3-20所示等截面直杆由钢杆ABC与铜杆CD在C处粘接而成。直杆各部分的直径均为d=36mm，受力如图3-20所示。若不考虑杆的自重，试求AC段和AD段杆的轴向变形量ΔlAC和ΔlAD
3-2 如图3-21所示，长度l=1.2m，横截面面积为1.10×l0-3m2的铝制圆筒放置在固定的刚性块上；直径d=15.0mm的钢杆BC悬挂在铝筒顶端的刚性板上；铝制圆筒的轴线与钢杆的轴线重合。若在钢杆的C端施加轴向拉力FP，且已知钢和铝的弹性模量分别为Es=200GPa，Ea=70GPa；轴向载荷FP=60kN，试求钢杆C端向下移动的距离。
图3-20 习题3-1图
图3-21 习题3-2图
3-3 螺旋压紧装置如图3-22所示。现已知工件所受的压紧力为F=4kN。装置中旋紧螺栓螺纹的小径d1=13.8mm；固定螺栓小径d2=17.3mm。两根螺栓材料相同，其许用应力[σ]=53.0MPa。试校核各螺栓的强度是否安全。
3-4 现场施工所用起重机吊环由两根侧臂组成。每一侧臂AB和BC都由两根矩形截面杆所组成，A、B、C三处均为铰链连接，如图3-23所示。已知起重载荷FP=1200kN，每根矩形杆截面尺寸比例b/h=0.3，材料的许用应力[σ]=78.5MPa。试设计矩形杆的截面尺寸b和h。
3-5 图3-24所示结构中BC和AC都是圆截面直杆，直径均为d=20mm，材料都是Q235钢，其许用应力[σ]=157MPa。试求该结构的许用载荷。
3-6 图3-25所示的杆件结构中①、②杆为木制，③、④杆为钢制。已知①、②杆的横截面面积A1=A2=4000mm2，③、④杆的横截面面积A3=A4=800mm2；①、②杆的许用应力[σW]=20MPa，③、④杆的许用应力[σs]=120MPa。试求结构的许用载荷[FP]。
图3-22 习题3-3图
图3-23 习题3-4图
图3-24 习题3-5图
图3-25 习题3-6图
3-7 如图3-26所示，电线杆由钢缆通过螺旋紧张紧器施加拉力使之稳固。已知钢缆的横截面面积为1×103mm2，E=200GPa，[σ]=300MPa。欲使电线杆对基础的作用力FR=100kN，张紧器的螺杆需相对移动多少？并校核此时钢缆的强度是否安全。
3-8 图3-27所示小车上作用着力FP=15kN，它可以在悬架的梁AC上移动，设小车对梁AC的作用可简化为集中力。斜杆AB的横截面为圆形（直径d=20mm）、钢质，许用应力[σ]=160MPa。试校核杆AB是否安全。
图3-26 习题3-7图
图3-27 习题3-8图
3-9 图3-28所示结构中，假设AC梁为刚杆，杆①、②、③的横截面面积相等，材料相同。试求3根杆的轴力。
3-10 试作图3-29所示两端固定的等直杆的轴力图。
图3-28 习题3-9图
图3-29 习题3-10图
3-11 水平刚性横梁AB上部由杆①和杆②悬挂，下部由铰支座O支承，如图3-30所示。由于制造误差，杆①的长度短了δ=1.5mm。已知两杆材料和横截面面积均相同，且E1=E2=E=200GPa，A1=A2=A。试求装配后两杆横截面的应力。
3-12 两端固定的阶梯杆如图3-31所示。已知AC段和BD段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A。杆材料的弹性模量E=210Gpa，线膨胀系数α=12×10-6/℃。试求当温度升高30℃后，该杆各段横截面内的应力。
图3-30 习题3-11图
图3-31 习题3-12图
3-13 由铝板和钢板组成的复合柱，通过刚性板承受纵向载荷FP=385kN，其作用线沿着复合柱的轴线方向，图3-32中单位为mm。试求：铝板和钢板横截面上的正应力。
3-14 铜芯与铝壳组成的复合棒材如图3-33所示，轴向载荷通过两端刚性板加在棒材上。现已知结构总长减少了0.24mm。试求：
（1）所加轴向载荷的大小；
（2）铜芯横截面上的正应力。
3-15 图3-34所示组合柱由钢和铸铁制成，组合柱横截面为边长为2b的正方形，钢和铸铁各占横截面的一半（h=2b）。载荷为FP，通过刚性板沿铅垂方向加在组合柱上。已知钢和铸铁的弹性模量分别为Es=196GPa，Ei=98.0GPa。今欲使刚性板保持水平位置，试求：加力点的位置x。
3-16 关于材料的力学一般性能，有如下结论，请判断哪一个是正确的。
（A）脆性材料的抗拉能力低于其抗压能力
（B）脆性材料的抗拉能力高于其抗压能力
（C）韧性材料的抗拉能力高于其抗压能力
（D）脆性材料的抗拉能力等于其抗压能力
图3-32 习题3-13图
图3-33 习题3-14图
图3-34 习题3-15图
3-17 低碳钢材料在拉伸实验过程中，不发生明显的塑性变形时，承受的最大应力应当小于的数值，有以下4种答案，请判断哪一个是正确的。
（A）比例极限
（B）屈服强度
（C）强度极限
（D）许用应力
3-18 根据图3-35所示3种材料拉伸时的应力-应变曲线，得出的如下4种结论，请判断哪一种是正确的。
（A）强度极限σb（1）=σb（2）>σb（3），弹性模量E（1）>E（2）>E（3），伸长率δ（1）>δ（2）>δ（3）
（B）强度极限σb（2）>σb（1）>σb（3），弹性模量E（2）>E（1）>E（3），伸长率δ（1）>δ（2）>δ（3）
（C）强度极限，σb（3）<σb（1）<σb（2）弹性模量E（3）>E（1）>E（2），伸长率δ（3）>δ（2）>δ（1）
（D）强度极限，σb（1）>σb（2）>σb（3），弹性模量E（2）>E（1）>E（3），伸长率δ（2）>δ（1>δ（3）
习题3-18图
3-19 关于低碳钢试样拉伸至屈服时，有以下结论，请判断哪一个是正确的。
（A）应力和塑性变形很快增加，因而认为材料失效
（B）应力和塑性变形虽然很快增加，但不意味着材料失效
（C）应力不增加，塑性变形很快增加，因而认为材料失效
（D）应力不增加，塑性变形很快增加，但不意味着材料失效
3-20 关于条件屈服强度有如下4种论述，请判断哪一种是正确的。
（A）弹性应变为0.2％时的应力值
（B）总应变为0.2％时的应力值
（C）塑性应变为0.2％时的应力值
（D）塑性应变为0.2时的应力值