1.4　无标度网络

WS模型能够反映现实网络的小世界特征，然而现实世界中的网络还被统计到极少节点拥有大量的连接，而众多的节点仅具有少量连接的特征，这些也无法用随机模型加以合理解释。

ER随机图和WS小世界模型的一个共同特征就是网络的度分布可近似用泊松分布来表示，该分布在度平均值<k>处有一个峰值，然后呈指数快速衰减。因此这类网络也称为均匀网络或指数网络。20世纪末网络科学研究上的另一重大发现就是包括Internet、WWW、科研合作网络^[13～16]以及蛋白质相互作用网络^[21，22]等众多不同领域的网络的度分布都可以用适当的幂律形式来较好地描述。由于这类网络的节点的度没有明显的特征长度，故称为无标度网络。这一概念由Barabsi和Albert^[23]在1999年提出，现在称为BA无标度网络模型。它使得无标度网络成为网络科学中的一个重要课题。无标度网络度分布P（k）～k^-γ（其中γ称为度指数）的最重要特征是标度不变性。下面来解释这一概念^[24]。

考虑幂律函数y（x）=cx^α和指数函数z（x）=c。现在改变测量单位（标度），即乘以因子λ，看看这两个函数对标度改变的反应。显然

　　（1-1）

　　（1-2）

式（1-1）说明函数图形的形状没有变化，同时函数的指数也不变。然而，从式（1-2）可知:函数图形的形状已经改变，或者函数的指数需乘以因子。这说明幂律函数具有标度不变性，即不依赖于所采用的测量单位;而指数函数则不具备这种特性。

Barabsi和Albert指出ER随机图和WS小世界模型忽略了实际网络的两个重要特性:

① 增长特性，即网络的规模是不断扩大的;

② 优先连接特性，即新的节点更倾向于与那些具有较高连接度的hub节点相连接。这种现象也称为“富者更富”或“马太效应”。

基于上述增长和优先连接特性，Barabsi和Albert提出了BA无标度网络模型，见如下算法。

BA无标度网络模型构造算法如下。

① 初始:开始给定N₀个节点。增长:在每个时间步重复增加一个新节点和K（K≤N₀）个节点新连线。

② 择优:新节点按照择优概率选择旧节点i与之连线，其中k_i是旧节点i的度数。

实证研究发现，许多现实网络，包括社会网络、信息网络、技术网络和生物网络都具有标度不变性，因此无标度网络的提出，极大地激发了科学界对网络科学的研究热情。