第四节　无穷级数

单项选择题（下列选项中，只有一项符合题意）

1级数

满足下列什么条件时收敛（　　）。[2017年真题]

A．

B．

C．发散

D．a_n单调增且

【答案】D

【解析】级数

收敛的条件为绝对值1/a_n单调递减且

即a_n单调递增且

2下列级数中，绝对收敛的级数是（　　）。[2016年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】可将各项分别取绝对值后判别敛散性。A项，取绝对值后为调和级数，发散；B项，取绝对值后为p级数，且p＝1/2＜1，发散；C项，由

可得，级数发散；D项，sin（3n/2）/n²＜1/n²，由于收敛，故收敛。

3设a_n＝（1＋1/n）ⁿ，则数列{a_n}是（　　）。[2014年真题]

A．单调增而无上界

B．单调增而有上界

C．单调减而无下界

D．单调减而有上界

【答案】B

【解析】判断，等价于判断，因为

所以

又

故数列{a_n}单调增且有上界。

4正项级数的部分和数列

有上界是该级数收敛的（　　）。[2013年真题]

A．充分必要条件

B．充分条件而非必要条件

C．必要条件而非充分条件

D．既非充分而又非必要条件

【答案】A

【解析】正项级数的部分和S_n构成一个单调增加（或不减少）的数列{S_n}。由极限存在准则可知，正项级数收敛的充要条件是其部分和数列{S_n}有上界。

5级数（　　）。[2014年真题]

A．当1＜p≤2时条件收敛

B．当p＞2时条件收敛

C．当p＜1时条件收敛

D．当p＞1时条件收敛

【答案】A

【解析】条件收敛，即发散，收敛。已知发散，故0＜p－1≤1。所以当1＜p≤2时，级数条件收敛。

6下列级数中，条件收敛的是（　　）。[2012年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】因条件收敛，应选A项。而和绝对收敛，的一般项不趋近于零，发散。

7下列级数中，发散的是（　　）。[2018年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】A项，因为级数的前n项和为

求极限得

所以级数收敛。

B项，p级数当p＞1时收敛，当p≤1时发散。因为B项中p＝3/2＞1，所以级数收敛。

C项，级数的一般项如果不趋于零，则该级数必定发散。计算得

因此C项对应的级数发散。

D项，为一个交错级数，又随着n的增大，其值越来越小，且利用莱布尼兹定理知级数收敛。

8若级数收敛，则下列级数中不收敛的是（　　）。[2011年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】因为级数收敛，故

因此，

故不收敛。

9级数的收敛域是（　　）。[2014年真题]

A．（－1，1）

B．[－1，1]

C．[－1，0）

D．（－1，0）

【答案】C

【解析】采用排除法求解。当x＝0时，原级数可化为级数是发散的，排除AB两项；当x＝－1时，代入可知级数是交错级数，收敛。

10幂级数的和函数S（x）等于（　　）。[2017年真题]

A．e^x

B．e^x＋1

C．e^x－1

D．cosx

【答案】C

【解析】考虑到为e^x的展开式，

11下列幂级数中，收敛半径R＝3的幂级数是（　　）。[2013年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】幂级数收敛半径

A项，

B项，

C项，

D项，

12设幂级数的收敛半径为2，则幂级数

的收敛区间是（　　）。[2011年真题]

A．（－2，2）

B．（－2，4）

C．（0，4）

D．（－4，0）

【答案】C

【解析】由于幂级数的收敛半径为2，故

则

因此需满足|（x－2）/2|＜1，即x∈（0，4），其收敛区间是（0，4）。

13幂级数在|x|＜2的和函数是（　　）。[2016年真题]

A．2/（2＋x）

B．2/（2－x）

C．1/（1－2x）

D．1/（1＋2x）

【答案】A

【解析】根据和函数的计算公式，计算得：

14函数f（x）＝a^x（a＞0，a≠1）的麦克劳林展开式中的前三项是（　　）。[2018年真题]

A．1＋xlna＋x²/2

B．1＋xlna＋（lna/2）x²

C．1＋xlna＋（lna）²x²/2

D．1＋x/lna＋x²/（2lna）

【答案】C

【解析】麦克劳林公式是泰勒公式（在x₀＝0下）的一种特殊形式。函数f（x）麦克劳林展开式为

因此前三项是1＋xlna＋（lna）²x²/2。

15当|x|＜1/2时，函数f（x）＝1/（1＋2x）的麦克劳林展开式正确的是（　　）。[2012年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因为

故

|x|＜1/2。

16下列各级数中发散的是（　　）。[2010年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】设

b_n＝1/n，则

而发散，则发散。根据交错级数判别法，可以判定BD两项收敛；C项是正项级数，根据根值判别法可以判定C项也是收敛的。

17已知级数

则级数等于（　　）。

A．3

B．7

C．8

D．9

【答案】C

【解析】设法将转化为用级数

和

表示即可。

则

18设常数λ＞0，且级数收敛，则级数（　　）。

A．发散

B．条件收敛

C．绝对收敛

D．收敛性与λ有关

【答案】C

【解析】注意利用不等式|ab|≤（1/2）（a²＋b²）。因为

由题设收敛，又也收敛，故绝对收敛。

19设0≤a_n≤1/n（n＝1，2，…），则下列级数中肯定收敛的是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由0≤a_n≤1/n可知，0≤a_n²＜1/n²，而由收敛及正项级数的比较判别法知，级数收敛，从而绝对收敛，得级数收敛。

20已知级数与广义积分均收敛，则p的取值范围是（　　）。

A．p＞2

B．p＜2

C．p＞0

D．0＜p＜2

【答案】D

【解析】若和均收敛，则同时有p－2＜0且p＞0，综合得0＜p＜2。

21函数e^x展开成为x－1的幂级数是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】e^x在实数范围内有直到n＋1阶的导数，利用泰勒公式在x＝1处展开如下：

22若的收敛域是（－8，8]，则的收敛半径及的收敛域分别是（　　）。

A．8，（－2，2]

B．8，[－2，2]

C．不定，（－2，2]

D．8，[－2，2）

【答案】A

【解析】由的收敛域是（－8，8]可知，幂级数的收敛半径是8，从而幂级数的收敛半径也是8，又因幂级数是幂级数两次逐项求导所得，由幂级数逐项求导或逐项积分后所得幂级数的收敛半径不变，可知幂级数的收敛半径是8，对于有收敛域－8＜x³≤8，即－2＜x≤2。

23已知的收敛半径R＝1，则的收敛域为（　　）。

A．（－1，1）

B．[－1，1）

C．（－1，1]

D．（－∞，＋∞）

【答案】D

【解析】因为的收敛半径R＝1，则

对

故收敛域为（－∞，＋∞）。

24设

则f（x）在x＝0时的6阶导数f^（6）（0）是（　　）。

A．不存在

B．－1/6

C．1/56

D．－1/56

【答案】D

【解析】由于

所以f（x）＝1/（2!）－x²/（4!）＋x⁴/（6!）－x⁶/（8!）＋…，x∈（－∞，＋∞）

因为

令n＝6，由函数展开式的唯一性：f^（6）（0）/（6!）＝－1/（8!）

所以f^（6）（0）＝－6!/（8!）＝－1/56。

25设α为常数，则级数（　　）。

A．绝对收敛

B．条件收敛

C．发散

D．收敛性与α的取值有关

【答案】C

【解析】因级数的一般项有|sin（nα）/n²|≤1/n²，且，故收敛；又显然发散，根据级数的运算性质知，级数必发散。

26设

其中

则S（－5/2）等于（　　）。

A．1/2

B．－1/2

C．3/4

D．－3/4

【答案】C

【解析】由题设知，应先将f（x）从[0，1）作偶延拓，使之成为区间[－1，1]上的偶函数，然后再作周期（周期为2）延拓，进一步展开为傅里叶级数，根据收敛定理有：S（－5/2）＝S（－2－1/2）＝S（－1/2）＝S（1/2）＝[f（1/2－0）＋f（1/2＋0）]/2＝3/4。