第七节 概率与数理统计
单项选择题（下列选项中，只有一项符合题意）
1设A、B、C是三个事件，与事件A互斥的事件是（ ）。[2017年真题]
A．
B．
C．A(＿)B＋AC(＿)
D．A（B＋C）
【答案】B
【解析】若事件A与B不能同时发生，则称事件A与B互不相容或互斥，记作AB＝∅。A项，由图1-7-1（1）维恩图可知，
（阴影部分）与A相交为A。B项，由图1-7-1（2）维恩图可知，
（阴影部分）与A相交为∅，与事件A互斥。C项，由图1-7-1（3）维恩图可知，（阴影部分）与A相交为A。D项，A（B＋C）与A相交为A（B＋C）。
图1-7-1（1）
图1-7-1（2）
图1-7-1（3）
2设有事件A和B，已知P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，且P（A|B）＝0.8，则下列结论中正确的是（ ）。[2016年真题]
A．A与B独立
B．A与B互斥
C．B⊃A
D．P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
【答案】A
【解析】条件概率的计算公式为：P（A|B）＝P（AB）/P（B），代入数据，解得：P（AB）＝0.56＝P（A）P（B），所以事件A和B相互独立。
3设A与B是互不相容的事件，P（A）＞0，P（B）＞0，则下列式子一定成立的是（ ）。[2014年真题]
A．P（A）＝1－P（B）
B．P（A|B）＝0
C．P（A|B(＿)）＝1
D．P（AB(———)）＝0
【答案】B
【解析】A与B是互不相容的事件，则P（AB）＝0，所以P（A|B）＝P（AB）/P（B）＝0。
4已知事件A与B相互独立，P（A(＿)）＝0.4，P（B(＿)）＝0.5，则P（A∪B）等于（ ）。[2018年真题]
A．0.6
B．0.7
C．0.8
D．0.9
【答案】C
【解析】因为A、B相互独立，得P（AB）＝P（A）P（B），所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝P（A）＋P（B）－P（A）P（B）＝（1－0.4）＋（1－0.5）－（1－0.4）×（1－0.5）＝0.8。
5若A与B为两个相互独立事件，且P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，则P（A∪B）等于（ ）。[2013年真题]
A．0.9
B．0.8
C．0.7
D．0.6
【答案】C
【解析】P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB），因A与B相互独立，故P（AB）＝P（A）P（B）＝0.2，故P（A∪B）＝0.7。
6设事件A、B互不相容，且P（A）＝p，P（B）＝q，则P（A(＿)B(＿)）等于（ ）。[2012年真题]
A．1－p
B．1－q
C．1－（p＋q）
D．1＋p＋q
【答案】C
【解析】由德摩根定律有：
再由事件A、B互不相容得：P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝p＋q。因此，P（A(＿)B(＿)）＝1－（p＋q）。
7三个人独立地去破译一份密码，每人能独立译出这份密码的概率分别为1/5，1/3，1/4，则这份密码被译出的概率为（ ）。[2011年真题]
A．1/3
B．1/2
C．2/5
D．3/5
【答案】D
【解析】设这三个人独立译出密码的概率分别为：P（A）＝1/5，P（B）＝1/3，P（C）＝1/4，三个事件独立，则：P（A∪B∪C）＝1－P（A(＿)B(＿)C(＿)）＝1－P（A(＿)）P（B(＿)）P（C(＿)）＝1－（4/5）（2/3）（3/4）＝3/5。
8设随机变量X的概率密度为
用Y表示对X的3次独立重复观察中事件{X≤1/2}出现的次数，则P{Y＝2}＝（ ）。[2011年真题]
A．3/64
B．9/64
C．3/16
D．9/16
【答案】B
【解析】
Y～B（3，P），故
9设事件A、B相互独立，且P（A）＝1/2，P（B）＝1/3，则P（B|A∪B(＿)）等于（ ）。[2010年真题]
A．5/6
B．1/6
C．1/3
D．1/5
【答案】D
【解析】由条件概率公式得：
又A、B相互独立，从而得：P（A∪B(＿)）＝P（A）＋P（B(＿)）－P（AB(＿)）＝1/2＋2/3－（1/2）×（2/3）＝5/6。
P（AB）＝（1/2）×（1/3）＝1/6，从而得：P（B|A∪B(＿)）＝1/5。
10设随机变量X的分布函数为
则数学期望E（X）等于（ ）。[2018年真题]
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由分布函数
计算概率密度为：
因此，数学期望为：
【说明】设连续型随机变量X的概率密度为f（x），若积分
绝对收敛，则称积分
的值为随机变量X的数学期望，记为：
11设（X，Y）的联合概率密度为
则数学期望E（XY）等于（ ）。[2014年真题]
A．1/4
B．1/3
C．1/6
D．1/2
【答案】A
【解析】由于
原式代入，解得：k＝2。
12设X1，X2，…，Xn与Y1，Y2，…，Yn都是来自正态分布X～N（μ，σ2）的样本，并且相互独立，X(＿)与Y(＿)分别是其样本均值，则
服从的分布是（ ）。[2014年真题]
A．t（n－1）
B．F（n－1，n－1）
C．χ2（n－1）
D．N（μ，σ2）
【答案】B
【解析】设X、Y相互独立，且X～χ2（n1）、Y～χ2（n2），则称F＝（X/n1）/（Y/n2）服从F分布，记作F～F（n1，n2）。本题中，
且相互独立，所以
服从F（n－1，n－1）分布。
13下列函数中，可以作为连续型随机变量的分布函数的是（ ）。[2013年真题]
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据分布函数F（x）的性质，有：
可知AC两项错误；又因为是连续型随机变量的分布函数，故H（x）必须单调不减，D项错误。
14某店有7台电视机，其中2台次品。现从中随机地取3台，设X为其中的次品数，则数学期望E（X）等于（ ）。[2016年真题]
A．3/7
B．4/7
C．5/7
D．6/7
【答案】D
【解析】随机变量X的取值为0、1、2，则相应的概率分别为：
故E（X）＝0×2/7＋1×4/7＋2×1/7＝6/7。
15设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
则常数a、b应满足的条件是（ ）。[2017年真题]
A．ab＝－1/2，且a＞0，b＜0
B．ab＝1/2，且a＞0，b＞0
C．ab＝－1/2，且a＜0，b＞0
D．ab＝1/2，且a＜0，b＜0
【答案】A
【解析】由题意可得：
分析知只有当a＞0，b＜0时，该积分可解，则有[0＋1/（2a）]·（0－1/b）＝－1/2ab＝1⇒ab＝－1/2
16若二维随机变量（X，Y）的分布规律为：
且X与Y相互独立，则α、β取值为（ ）。[2018年真题]
A．α＝1/6，β＝1/6
B．α＝0，β＝1/3
C．α＝2/9，β＝1/9
D．α＝1/9，β＝2/9
【答案】C
【解析】根据题干表中数据算得边缘分布率为：
因为X与Y相互独立，所以P{X＝2，Y＝1}＝P{X＝2}P{Y＝1}，得1/9＝（1/9＋α）×（1/3），计算得α＝2/9。同理，P{X＝3，Y＝1}＝P{X＝3}P{Y＝1}，得1/18＝（1/18＋β）×（1/3），计算得β＝1/9。
17若随机变量X与Y相互独立，且X在区间[0，2]上服从均匀分布，Y服从参数为3的指数分布，则数学期望E（XY）的等于（ ）。[2012年真题]
A．4/3
B．1
C．2/3
D．1/3
【答案】D
【解析】X与Y独立，E（XY）＝E（X）E（Y）。又X在[a，b]上服从均匀分布，E（X）＝（a＋b）/2，即有E（X）＝1。当Y服从参数为λ的指数分布时，E（Y）＝1/λ，即有E（Y）＝1/3，故E（XY）＝E（X）E（Y）＝1/3。
18设随机变量X和Y都服从N（0，1）分布，则下列叙述中正确的是（ ）。[2011年真题]
A．X＋Y服从正态分布
B．X2＋Y2～χ2分布
C．X2和Y2都服从χ2分布
D．X2/Y2～F分布
【答案】C
【解析】当X～N（0，1）时，有X2～χ2，故C项正确；ABD三项，χ2分布与F分布都要求X与Y独立。
19设θ(∧)是参数θ的一个无偏估计量，又方差D（θ(∧)）＞0，则下列结论中正确的是（ ）。[2017年真题]
A．（θ(∧)）2是θ2的无偏估计量
B．（θ(∧)）2不是θ2的无偏估计量
C．不能确定（θ(∧)）2是还是不是θ2的无偏估计量
D．（θ(∧)）2不是θ2的估计量
【答案】B
【解析】若E（θ(∧)）＝θ则称θ(∧)是θ的无偏估计量。由D（θ(∧)）＞0可得D（θ(∧)）＝E（θ(∧)2）－E2（θ(∧)）＞0，即E（θ(∧)2）＞E2（θ(∧)）＝θ2，所以（θ(∧)）2不是θ2的无偏估计量。
20设总体X～N（0，σ2），X1，X2，…，Xn，是来自总体的样本，
则下面结论中正确的是（ ）。[2016年真题]
A．σ(∧)2不是σ2的无偏估计量
B．σ(∧)2是σ2的无偏估计量
C．σ(∧)2不一定是σ2的无偏估计量
D．σ(∧)2不是σ2的估计量
【答案】B
【解析】若E（θ(∧)）＝θ则称θ(∧)是θ的无偏估计量。样本X1，X2，…Xn与总体X同分布，Xi～N（0，σ2），
故σ(∧)2是σ2的无偏估计量。
21设总体X～N（0，σ2），X1，X2，…，Xn是来自总体的样本，则σ2的矩估计是（ ）。[2013年真题]
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得：
22设x1，x2，…xn是来自总体N（μ，σ2）的样本，μ，σ2未知，
则检验假设H0∶μ＝0时应选取的统计量是（ ）。[2012年真题]
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当σ2未知时检验假设H0∶μ＝μ0，应选取统计量为：
所以选取的统计量为：
23设A，B是两个事件，P（A）＝0.3，P（B）＝0.8，则当P（A∪B）为最小值时，P（AB）＝（ ）。[2011年真题]
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
【答案】C
【解析】由于P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB），当P（A∪B）为最小值时，P（AB）为最大值，此时P（AB）＝0.3。
24设事件A与B互不相容，且P（A）＞0，P（B）＞0，则下列结论正确的是（ ）。
A．P（A|B）＝P（A）
B．P（A|B）＝0
C．P（AB）＝P（A）P（B）
D．P（B|A）＞0
【答案】B
【解析】因为事件A与B互不相容，所以P（AB）＝0，又因为P（A）＞0，P（B）＞0，所以P（AB）＝P（B）·P（A|B），由P（AB）＝0，P（B）＞0易得P（A|B）＝0。
25将3个球随机地放入4个杯子中，则杯中球的最大个数为2的概率为（ ）。
A．1/16
B．3/16
C．9/16
D．4/27
【答案】C
【解析】把3个球放到4个杯子，每个球都有4种方法，共43种放法。杯中球的最大个数为2的放法为：从4个杯子中选两个杯子，从3个球中取2球放入其中的一个杯子，剩下的一个球放入到另外的一个杯子中，共有2C32C42＝36种放法。根据古典型概率，杯中球的最大个数为2的概率为：36/43＝9/16。
26已知随机变量X服从二项分布，且EX＝2.4，DX＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为（ ）。
A．n＝4；p＝0.6
B．n＝6；p＝0.4
C．n＝8；p＝0.3
D．n＝24；p＝0.1
【答案】B
【解析】依题意得X～B（n，p），于是EX＝np，DX＝np（1－p），于是可得方程组：
解得：n＝6，p＝0.4。
27设随机变量X的概率密度为
则P（0≤X≤3）等于（ ）。
A．1/3
B．2/3
C．1/2
D．1/4
【答案】B
【解析】由题得：
28设随机变量X的密度函数为f（x），且f（－x）＝f（x），F（x）是X的分布函数，则对任意实数a有（ ）。
A．
B．
C．F（－a）＝F（a）
D．F（－a）＝2F（a）－1
【答案】B
【解析】已知f（－x）＝f（x），当a≥0时，
当a＜0时，
29设随机变量X的二阶矩存在，则（ ）。
A．E（X2）＜E（X）
B．E（X2）≥E（X）
C．E（X2）＜（EX）2
D．E（X2）≥（EX）2
【答案】D
【解析】由于D（X）＝E（X2）－（EX）2≥0，故E（X2）≥（EX）2。AB两项对某些随机变量可能成立，对某些随机变量可能不成立。例如，随机变量X在区间[0，1]上服从均匀分布，则E（X）＝1/2，D（X）＝1/12，E（X2）＝D（X）＋E2（X）＝1/12＋1/2＝1/3＜1/2＝E（X），A项成立，此时B项不成立。又如X～N（μ，σ2），E（X）＝μ，D（X）＝σ2，E（X2）＝σ2＋μ2，取σ≥μ＝1/2，则E（X2）≥2μ2＝2×（1/4）＝1/2＝E（X），即B项成立，此时A项不成立。
30设总体X的概率分布为：
其中θ（0＜θ＜1/2）是未知参数，利用样本值3，1，3，0，3，1，2，3，所得θ的矩估计值是（ ）。
A．1/4
B．1/2
C．2
D．0
【答案】A
【解析】根据题意，总体X的期望为：E（X）＝2θ（1－θ）＋2θ2＋3（1－2θ）＝3－4θ，利用样本值可得到其平均值为：（3＋1＋3＋0＋3＋1＋2＋3）/8＝2
由：
解得：
31设总体X的概率密度为
其中θ＞－1是未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，则θ的矩估计量是（ ）。
A．X(＿)
B．（2X(＿)－1）/（1－X(＿)）
C．2X(＿)
D．X(＿)－1
【答案】B
【解析】矩估计中用样本均值X作为总体参数E（X）的无偏估计量，即：
因此，
32设总体X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），检验假设H0：σ12＝σ22；H1：σ12≠σ22；α＝0.10，从X中抽取容量为n1＝12的样本，从Y中抽取容量为n2＝10的样本，算得s12＝118.4，s22＝31.93，正确的检验方法与结论是（ ）。
A．用t检验法，临界值t0.05（17）＝2.11，拒绝H0
B．用F检验法，临界值F0.05（11，9）＝3.10，F0.95（11，9）＝0.35，拒绝H0
C．用F检验法，临界值F0.95（11，9）＝0.35，F0.05（11，9）＝3.10，接受H0
D．用F检验法，临界值F0.01（11，9）＝5.18，F0.99（11，9）＝0.21，接受H0
【答案】B
【解析】两个正态总体方差相等，其中μ1，μ2未知，应使用F检验法，所用统计量F＝s12/s22～F（n1－1，n2－1）。又Fα/2（n1－1，n2－1）＝F0.5（11，9）＝3.10，而s12/s22＝118.4/31.93＝3.71＞3.10，故拒绝H0。