第2章人寿保险的趸缴纯保费_2019年秋季中国精算师《寿险精算》过关必做习题集（含历年真题）-QQ阅读男生中文武侠网

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第2章　人寿保险的趸缴纯保费

单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）

1．（2008年真题）30岁的人购买保额为1000元的特殊的35年期两全保险，已知条件如下：

（1）在其购买保险时，其两个孩子的年龄分别是3岁和6岁；

（2）特殊约定为：如果被保险人死亡时两个孩子的年龄都小于11岁，那么给付额为3000元；如果被保险人死亡时只有一个孩子的年龄小于11岁，那么给付额为2000元；

（3）在被保险人死亡时立即给付保险金；

（4）μ_30+t=0.04，t≥0；

（5）δ=0.06；

（6）₃₅E₃₀=0.0302。

则此保单的趸缴纯保费为（　　）元。

A．638

B．766

C．777

D．796

E．800

【答案】D

【解析】由题意可知，该保险相当于保额1000元的35年期两全保险+1000元保额的8年期定期保险（5-8年内被保险人只有一个孩子小于11岁）+1000元保额的5年期定期保险（5年内两个孩子都小于11岁），故

此保单的趸缴保险费为：

2．（2008年真题）30岁的人购买两年期定期保险，保险金在被保险人死亡的年末给付，保单年度t的保额为，已知条件为：，Z表示给付现值随机变量，则使得Var(Z)最小的b₁的值为（　　）。

A．0.0

B．5.0

C．6.8

D．8.6

E．8.9

【答案】C

【解析】v=1，由题意得：

故当b₁=6.048/(2×0.4464)=6.8时，Var(Z)最小。

3．（2008年真题）50岁的人购买保险金在死亡时给付的特殊的递增型终身寿险，Z表示给付现值随机变量，已知：

则的值为（　　）。

A．0.01

B．0.02

C．0.03

D．0.04

E．0.05

【答案】D

【解析】给付现值函数，

所以

4．（2008年真题）已知：，，，。则=（　）。

A．3.81

B．3.88

C．3.94

D．4.01

E．4.12

【答案】A

【解析】由已知，有：。

由，

得：

5．（样题）设l_x＝100－x，0≤x≤100，且i＝0.05。则=（　）。

A．0.38

B．0.39

C．0.40

D．0.41

E．0.42

【答案】D

【解析】由已知，得：

6．（样题）设，，，，则利率i=（　）。

A．15%

B．16%

C．17%

D．18%

E．19%

【答案】E

【解析】由，，

有，

故i＝18.8%。

7．（样题）已知某生存模型，如表2-1所示，对(90)考虑离散保险，假设b₁＝10，b₂＝5，b₃＝2，i＝0.06，对现值随机变量，计算=（　）。

表2-1 生存模型

A．8.91

B．9.85

C．10.23

D．11.45

E．12.70

【答案】B

【解析】P(K=0)=q₉₀=1－l₉₁/l₉₀，P(K=1)=_1|q₉₀=l₉₁/l₉₀－l₉₂/l₉₀，P(K=2)=_2|q₉₀=l₉₂/l₉₀－l₉₃/l₉₀，

故，

。

所以Var(Z)=32.554－1.765²=9.85。

8．（样题）年龄为(x)的100人，每人投保金额为10单位，购买连续型终身人寿保险，为保证以97.5%概率使得保费够用，假设μ＝0.04，δ＝0.06，正态分布97.5%的分位数位1.960，则开始时最低保费总额为（　　）。

A．449

B．459

C．469

D．479

E．489

【答案】B

【解析】总赔付额现值为，其中独立同分布。

由于，

；

。

故最低保费总额为：。

9．（样题）设死亡是均匀分布的，把表示为利率的函数为（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】D

【解析】由已知，有：

。

10．（样题）关于(x)的连续型终身保险，保额为50单位，T(x)的概率密度函数为

已知利息力为0.1，则其趸缴纯保费为（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】A

【解析】由已知，得：

11．（样题）已知条件

（1）i＝0.02；

（2）；

（3）；

（4）。

Z为离散型保险保额为1的现值随机变量，计算当x＝51时，=（　）。

A．0.055

B．0.060

C．0.065

D．0.260

E．0.265

【答案】A

【解析】由于

由已知，有：，

故；同理，。

所以。

12．设年龄为35岁的人投保离散型的保险金额为5000元的25年定期保险。设年利率i=6%，换算函数M₃₅=14116.12，M₆₀=9301.69，D₃₅=126513.80。则该保单的趸缴纯保费为（　　）元。

A．190.27

B．190.32

C．190.38

D．200.27

E．205.32

【答案】A

【解析】由公式==得：

＝0.0380546

故该保单的趸缴纯保费为：

＝5000×0.0380546＝190.273（元）

13．设年龄为30岁的王先生，购买离散型递增的30年定期保险，保险利益是：被保险人在第一个保单年度内死亡，则给付1000元；在第二个保单年度内死亡，则给付1100元，在第三个保单年度内死亡，则给付1200元，依次下去，直到第30个保单年度内死亡，则给付3900元。设预定年利率i=6%，已知M₃₀=14730.24，M₆₀=9301.69，R₃₀=520298.40，R₆₀=144299.70，D₃₀=170037.90，则该保单的趸缴纯保费为（　　）元。

A．76.74

B．80.74

C．85.74

D．90.74

E．92.74

【答案】C

【解析】依题意，所求的趸缴纯保费为：

=900+100

=85.74（元）。

14．设年龄30岁的李女士投保了离散型的递减的20年定期保险，保险利益是：被保险人在第一保单年内死亡，给付保险金5000元；在第二保单年内死亡，给付4900元;在第三保单年内死亡，给付4800元，依次下去，直到在第20保单年内死亡，给付3100元。设预定年利率i=6%，换算函数M₃₀=14730.24，M₅₀=11729.06，D₃₀=170037.90，R₃₁=505555.10，R₅₁=239576.50。则该保单的趸缴纯保费为（　　）元。

A．63.79

B．64.79

C．65.79

D．66.79

E．69.79

【答案】E

【解析】依题意，所求的趸缴纯保费为：

=69.7853（元）。

15．假设，k=0，1，2，…，利率为常数6%，则=（　）。

A．0.0741

B．0.0768

C．0.0785

D．0.0789

E．0.0795

【答案】B

【解析】因为

=0.5，

==，

所以=0.076797。

16．年龄为30岁的小王购买了一离散型寿险保险，此保险规定：在30岁到40岁之间死亡给付6万元；在40岁至50岁之间死亡给付8万元；50岁到60岁之间死亡给付10万元；60岁仍然生存，给付20万元。则其趸缴纯保费为（　　）万元。

（已知换算函数=14730.24，=13451.35，=11729.06，=9301.689，=170037.9，=26606.02）

A．3.398

B．3.698

C．3.996

D．4.398

E．5.395

【答案】A

【解析】令随机变量为K(x)，给付数额为b_K(x)+1。

那么，随机变量的现值函数为：

故其趸缴纯保费为：

=3.398（万元）

17．李某现年（x）岁，已投保了终身寿险，他计划于（x+n）岁去完成一项任务，此任务历时一年，此年的死亡附加风险增加c。则其趸缴纯保费将增加（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】A

【解析】解法①：

因为

所以

；

解法②：由已知，得：

；

故其趸缴纯保费将增加：。

18．一份保险若（80）在第k+1年死亡，k=0，1，2，…，则在其死亡年末支付k+1。假设v=0.925；且若=0.1，则该保险的趸缴纯保费为4。那么当=0.2时，该保险的趸缴纯保费为（　　）。

A．0.56

B．1.58

C．2.62

D．3.66

E．4.76

【答案】D

【解析】原趸缴纯保费为：

=4；

当由0.1变为0.2时，

则新的趸缴纯保费为：

=2×0.925×0.1＋（1－2×0.1）×(4－0.925×0.1)/0.9

=3.66。

19．已知：1000(IA)₅₀=4996.75；1000=5.58，1000A₅₁=249.05，i=0.06。则1000(IA)₅₁=（　　）。

A．2070

B．3071

C．4071

D．5073

E．6083

【答案】D

【解析】因为=5.58，

=0.93782，

又，

所以，

即4996.75=5.58+0.93782[1000(IA)₅₁+249.05]，

故1000(IA)₅₁=5072.48。

20．（40）的王先生购买了两份保险，趸缴纯保费均为100元。一份是离散型20年期保额递增保险，另一份是20年期保额递减的保险，并且趸缴纯保费由表2-2所示数据决定。则其递增型保单死亡给付比递减保单少（　）年。

表2-2 换算函数表

A．8

B．10

C．14

D．19

E．20

【答案】C

【解析】对于20年期保额递增保险：

=1.5473

由已知，每年保额应乘以100/1.5473=64.63，

故：每年保额为：64.63，2×64.63，…，20×64.63；

对于20年期保额递减保险：

=0.6446，

同理每年保额应乘以100/0.6446=155.13，

故每年保额为：20×155.13，19×155.13，…，1×155.13。

设t为所求年数，则t(64.63)<［20－(t－1)］×155.13，

即t(64.63+155.13)<21×155.13，解得：t<14.82，故t=14（年）。

21．已知某生命表，如表2-3所示，对于两年期定期寿险，死亡年末给付保险金：若在第一年内死亡，给付保险金5000元；当在第二年末死亡，给付保险金10000元。

表2-3 生命表

则当21岁的被保险人购买此险种，其缴纳的趸缴纯保费（假定利息率为10%）为（　　）元。

A．2.323

B．4.270

C．6.593

D．7.323

E．8.593

【答案】C

【解析】根据已知条件，可得到表2-4所示的数据。

表2-4

由已知得：

=(1－0.000511)×0.000517

=0.0005167。

故所缴趸缴纯保费为：

=6.593（元）。

22．小李在大学入校时购买了四年期定期保险，该保险规定：若被保险人在四年内任一时点死亡，都将在第四年末得到10万元的赔付。假设被保险人为18岁，并且死亡率服从如表2-5所示的生命表。设年利率为2.5%，则其趸缴纯保费为（　　）元。

表2-5 生命表

A．156.407

B．237.308

C．365.306

D．485.677

E．525.500

【答案】C

【解析】由已知可得：=0.9959677，

=1－0.9959677=0.0040323。

所以其趸缴纯保费为：

=365.306（元）

23．一份关于(x)的3年期初支付年金，Y是其现值随机变量，给定下列条件：

（1）_tp_x=0.9^t，t≥0；

（2）K是x未来寿命整数的随机变量；

（3）。

则Var(Y)=（　）。

A．0.194

B．0.245

C．0.299

D．0.427

E．0.556

【答案】C

【解析】因为Pr(K=0)=1－p_x=0.1，Pr(K=1)=₁p_x－₂p_x=0.9－0.81=0.09，Pr(K>1)=₂p_x=0.81；

E(Y)=0.1×1+0.09×1.87+0.81×2.72=2.4715；

E(Y²)=0.1×1²+0.09×1.87²+0.81×2.72²=6.407；

所以Var(Y)=6.407－2.4715²=0.299。

24．对一份关于(x)的全离散式2年定期保险，保额为1，满足如下条件：

（1）使得第一年没有损失的最低保费是0.95；

（2）p_x=0.75；

（3）p_x+1=0.80；

（4）Z是未来给付现值的随机变量。

则Var(Z)=（　）。

A．0.11

B．0.2l

C．0.3l

D．0.35

E．0.39

【答案】B

【解析】由于第一年没有损失的最低保费为0.95，则折现率ν=0.95。

所以E(Z)=νq_x+ν²p_xq_x+1=0.95×0.25+0.95²×0.75×0.2=0.3729，

E(Z²)=V²q_x+V⁴p_xq_x+l=0.95²×0.25+0.95⁴×0.75×0.2=0.3478，

故Var(Z)=E(Z²)－E²(Z)=0.3478－0.3729²=0.21。

25．(25)有一份终身寿险，提供如下保障：

（1）死亡保险金在死亡发生的年末支付，并且在65岁之前为20000元，在其后为10000元；

（2）若其在65岁时仍然活着，则退回趸缴纯保费（不带利息），并且已知：A₂₅=0.10，A₆₅=0.2，₄₀p₂₅=0.8，ν₄₀=0.2。

则该保险的趸缴纯保费为（　　）元。

A．1700

B．800

C．1900

D．2000

E．2100

【答案】D

【解析】设P为趸缴纯保费，Z为死亡给付现值随机变量，则

P=++Pv⁴⁰₄₀p₂₅

故P==2000（元）。

26．已知：i=0.06，A_x+1－A_x=0.015，q_x=0.05，则A_x+A_x+1=（　）。

A．1.15

B．1.16

C．1.17

D．1.18

E．1.19

【答案】D

【解析】A_x=vq_x+vp_x A_x+1=vq_x+vp_x(0.015+A_x)

故A_x(1－vp_x)=νq_x+0.015vp_x（其中v=1/（1+i））

A_x=[(vq_x+0.015vp_x)／(1－vp_x)]·(1+i)／(1+i)

=(q_x+0.015p_x)／[(1+i)－p_x]

=（0.05+0.015×0.95）／(1.06－0.95)

=0.5805

故A_x+A_x+1=A_x+0.015+A_x=2A_x+0.015=2×0.5805+0.015=1.18。

27．T为(x)的未来寿命随机变量，则=（　）。

A．

B．

C．0

D．

E．

【答案】A

【解析】对任意两个随机变量X、Y，有

Cov(X，Y)=E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}

=E(XY)－E(X)E(Y)。

而=E[ν^T(1－ν^T)／δ]=1／δ·E[ν^T－ν^2T]=1／δ[－]；

=E[(1－ν^T)/δ]=(1－)／δ；

E(ν^T)=。

故Cov[，ν^T]=1／δ[－]－[(1－)／δ]

=1／δ[－－+()²]

=1／δ[－]。

28．根据表2-6所示数据，计算则=（　　）。

表2-6

A．2.22

B．2.25

C．2.28

D．2.31

E．2.34

【答案】A

【解析】=

=1×0.33+1.93×0.24+2.8×0.16+3.62×0.11

+3.62×[1－0.33－0.24－0.16－0.11]

=2.22

29．考虑(x)的给付额为1的2年定期死亡年末给付的保险，已知：q_x=0.50，i=0，Var(Z)=0.1771，其中Z为未来给付的现值随机变量。则q_x+1=（　）。

A．0.50

B．0.52

C．0.54

D．0.56

E．0.58

【答案】C

【解析】已知Z=0或1。

若k=0或1，则Z=1，并且₂q_x=q_x+p_xq_x+1=+q_x+1；

若k＞1，则Z=0，并且1－(q_x+p_xq_x+1)=(－q_x+1)。

故Var(Z)===0.1771，

解得：q_x+1=0.54。

30．已知：A₇₆=0.800，D₇₆=400，D₇₇=360，i=0.03。则A₇₇=（　）。

A．0.802

B．0.804

C．0.806

D．0.808

E．0.810

【答案】E

【解析】由A_x=νq_x+νp_x A_x+1，

得A₇₆=vq₇₆+(D₇₇／D₇₆)A₇₇。

而D₇₇／D₇₆=vp₇₆，因此：

p₇₆=(1+i)(D₇₇／D₇₆)

=1.03×（360／400）=0.927，

所以0.8=1.03^－¹×(1－0.927)+0.9A₇₇，解得：A₇₇=0.810。

31．某保险公司已经同意对一名因公受伤的工人（x）进行如下赔偿：

（1）每年初支付150000，并且立即以连续方式支付，直到该工人死亡；

（2）起初500000由该保险公司支付，其余由一家再保险公司支付；

（3）

（4）i=0.05。

则此再保险人未来支付的精算现值（　　）。

A．小于50000

B．大于50000但小于100000

C．大于100000但小于150000

D．大于150000但小于200000

E．大于200000

【答案】B

【解析】其未来支付精算现值=100000×()³+150000×=79012。

32．考虑一份从一团体中随机选择的成员进行的2年定期保险，已知：

（1）1/3的人为吸烟者，2/3的人为不吸烟者；

（2）未来寿命服从Weibull分布，。对于吸烟者，τ=2，θ=1.5；对于不吸烟者，τ=2，θ=2.0；

（3）死亡给付额为100000，在死亡年末支付；

（4）i=0.05。

则该保险的精算现值为（　　）。

A．64100

B．64300

C．64600

D．64900

E．65100

【答案】C

【解析】用S表示吸烟者，NS表示不吸烟者。

E[Z]=E[Z|S]×+E[Z|NS]×

=10⁵{(+)×+(+×｝，

q_[x]=1－p_[x]，p_[x]=，

_1|q_[x]=p_[x]－₂p_[x]，₂p_[x]=，据已知条件可得如表2-7所示数据。

表2-7

因此有：

E(Z)=10⁵[(×0.35882+×0.47217)×+(×0.2212+×0.4092)×]

=64592。

33．某保险公司签发了一份对于（30）的保额为1000的完全离散型3年定期保险，给定如下条件：

（1）

（2）i=0.04；

（3）保费由精算等价原理决定。

在第三年，此保险公司发现当保单签发时，(30)的实际年龄为31岁，运用等价原理公司调整了均衡的死亡给付（在签单时应拥有的值），计算调整后的死亡给付为（　　）。

A．646

B．664

C．712

D．750

E．963

【答案】B

【解析】==0.053796725，

=1＋=2.848927515，

故=1000×0.053796725/2.848927515=18.88315，

==0.080215919，

=1＋=2.82119，

又=，

即53.272954=B×0.080215919，解得：B=664.12，

即调整后的死亡给付为664.12。

34．已知：A_x=0.24，A_x+10=0.35，=0.5。则=（　）。

A．0.06

B．0.08

C．0.10

D．0.12

E．0.14

【答案】C

【解析】因为=－，

=A_x－_l0|A_x=A_x－，

所以=0.5－；=0.24－0.35，

故=0.24+(－0.5)×0.35，

即=0.24－0.5×0.35，解得：=0.1。

35．已知：=100－x，0≤x≤100，i=0.06。则=（　）。

A．0.578

B．0.581

C．0.583

D．0.584

E．0.586

【答案】D

【解析】=ν¹⁰·₁₀p_x=1.06^-10×，

==·=×7.3601

故=+

=+7.3601×

=，

故==0.584。

36．（40）购买一递增型的终身寿险，已知：

（1）随机变量Y是给付的现值；

（2）只要活着，每30年初立即给付；

（3）第一年支付10，每隔30年增加一倍；

（4）死力服从De Moive假设，ω=110；

（5）i=0.04。

则Var(Y)=（　）。

A．10.01

B．12.46

C．13.89

D．15.20

E．16.55

【答案】B

【解析】当(40)在(70)前死亡：Y=10，₃₀q₄₀==；

当(40)活过(70)，但在(100)前死亡：Y=10+20ν³⁰，_30|30q₄₀==；

当(40)活过(100)：Y=10+20v³⁰+30v⁶⁰，₆₀p₄₀=1－－=，

所以E(Y)=×10+×16.166+×19.018=13.93104，

E(Y²)=×10²+×16.166²+×19.018²=206.5315，

故Var(Y)=E(Y²)－[E(Y)]²=12.46。

37．(x)的3年期的定期寿险，已知：

（1）i=0.06，Z为给付现值的随机变量；

（2）q_x+k=0.02(k+1)，k=0，1，2；

（3）死亡给付在死亡年末发生，给付额为：

则Var(Z)=（　）。

A．9514

B．10419

C．12516

D．34051

E．35122

【答案】B

【解析】E(Z)=

=ν×300×0.02+ν²350×0.98×0.04+v³×400×0.98×0.96×0.06

=36.8，

E(Z²)=

=ν²×300²×0.02+ν⁴×350²×0.98×0.04+v⁶400²×0.98×0.96×0.06

=11773，

所以Var[Z]=E(Z²)－E²(Z)=11773－36.8²=10419。

38．考虑一终身寿险，保险金额b在死亡时刻给付，Z为未来给付的随机变量的现值，已知：δ=0.04，μ_x(t)=0.02（t≥0），E(Z)=Var(Z)。则b=（　）。

A．1.50

B．1.75

C．2.50

D．2.75

E．3.75

【答案】E

【解析】由于=，故E(Z)==，

Var[z]=Var[bν^T]=b²Var[ν^T]==，

而Var[Z]=E(Z)，所以=，解得：b=3.75。

39．一个递增的10年期的定期寿险，保险年龄为(40)岁，给出如下条件：

（1）b_k+1=100000(1+k)，k=0，1，…，9；

（2）保险金给付在死亡年末发生；

（3）i=0.06，=0.16736；

（4）p₄₀=0.99722，p₅₀=0.99408，₉p₄₁=0.96378；

（5）A₄₀=0.16132，A₅₀=0.24905。

则此趸缴纯保费为（　　）。

A．15513

B．16781

C．17810

D．17950

E．18011

【答案】A

【解析】由于₁₀E₄₀=v¹⁰·₁₀p₄₀=v¹⁰·(p₄₀·₉p₄₁)=0.53667，所以

=A₄₀－₁₀E₄₀ A₅₀

=0.16132－0.53667×0.24905

=0.02776，

故=100000v p₄₀[－10v¹⁰₉p₄₁·q₅₀]+

=[0.16736－×(1－0.99408)]+(0.02766×100000)

=15513。

40．已知：=0.28，=0.50，=0.20，=0.05，则=（　　）。

A．6.4

B．7.6

C．8.3

D．8.7

E．11.2

【答案】B

【解析】

=7.57。

41．一个（）购买的三年延期终身生存年金，已知部分生命表如表2-8所示，且满足：

（1）第一次给付额为1000元；

（2）其余各年依次比上一年增加4%；

（3）在延期期内无死亡给付；

（4）是趸缴保费；

（5），=11.08。

则趸缴保费=（　）。

表2-8 部分生命表

A．3078

B．4024

C．5053

D．6062

E．8117

【答案】E

【解析】

=1000

=8117。

42．对于（60）购买的20年期递减的定期寿险，已知，当=0.3时，该险种的趸缴保费为13元；当=0.2时，设该险种的趸缴保费为。且除60岁外，其余年龄的生存状况没有任何改变。则=（　　）。

A．12.1

B．13.1

C．14.1

D．15.9　

E．16.1

【答案】A

【解析】依题意有：

当=0.3时：13=，

即=13，解得：=11.1。

故当=0.2时，

=12.1。

43．50岁的人投保保额为1的终身死亡保险，设年利息力为常数0.06，死亡服从De Moivre假设，ω=100，则保额在保单生效时的精算现值为（　　）。

A．0.1072

B．0.3073

C．0.5074

D．0.5075

E．0.6076

【答案】B

【解析】在De Moivre假设下，有：

，=，=1－s(x+t)/s(x)=1/50

所以。

故保额在保单生效时的精算现值为：

A₅₀===0.3073

44．在UDD假设下。已知利率i=0.05，q₃₅=0.01，=0.185。则A₃₅=（　　）。

A．0.1597

B．0.1797

C．0.1808

D．0.1908

E．0.2000

【答案】B

【解析】利用UDD假设知：

=0.1805，==0.01/1.05

所以=0.1797。

45．已知A_x=0.25，A_x+20=0.40，=0.3。则和的值分别为（　　）。

A．1/12；13/60

B．13/60；1/12

C．1/12；1/4

D．1/4；1/12

E．13/60；3/10

【答案】B

【解析】由×0.40=0.25，

和=0.3，

解得：=13/60；=1/12。

46．已知某简单生命表，如表2-9所示，设利率i=3%，则=（　）。

表2-9 简单生命表

A．6.329

B．6.517

C．6.746

D．6.798

E．6.810

【答案】B

【解析】因为，d₃₀==1，d₃₀==2,d₃₁==4，

所以=

=1000×

=6.51663。

47．对于（x）岁的人投保的3年定期寿险，已知i＝0.025，q_x+k＝0.03(k+1)，k＝0，1，2。死亡赔付年末给付，各年赔付额如表2-10所示。假设z是赔付现值随机变量，则E(z)=（　　）。

表2-10 各年赔付额

A．50953.43

B．51953.43

C．52953.43

D．53953.43

E．54953.43

【答案】C

【解析】由已知条件得：v=1/(1+i)=1/1.025；q_x=0.03，q_x+1=0.03×2=0.06，q_x+2=0.03×3=0.09。

所以₀p_x=1，₁p_x=p_x=1－q_x=0.97，p_x+1=1－q_{x +1}=0.94，₂p_x=p_xp_x+1=0.97×0.94=0.9118。

从而可得如表2-11所示的数据。

表2-11 赔付额运算表

故

=5853.66+16618.68+30481.09

=52953.43。

48．考虑90岁人的生存状况，如表2-12所示，设i=0.06。假定有100个（90）独立同分布的个体购买了死亡年末给付的保险，为保证有90%的概率满足其实际赔付，规定所收保费等于趸缴纯保费加上风险附加费用R。则R=（　　）。

表2-12 生命表

A．0.00523

B．0.00539

C．0.00596

D．0.00602

E．0.00952

【答案】B

【解析】记z为赔付现值变量，则z＝z₁+z₂+…+z₁₀₀，且z~N(100E[z]，100Var[Z])。

由于v==1.06^-1，_tq_x=，故趸缴纯保费为：

=0.885301；

又

＝0.785525，

所以Var(z)=²A⁹⁰－(A₉₀)²=0.001767。

故z～N(88.5301，0.1767)。

根据题意，为保证有90%的概率满足实际赔付，规定收保费等于趸缴纯保费加上风险附加费用R，即

Pr[z≤100(E(z)+R)]

=Pr

=Ф

=0.9，

所以=Z_0.9=1.282，解得：R=0.00539。

49．已知A₇₀=0.80，vp₇₀=0.9，i=2.5%，则A₇₁=（　）。

A．0.7949

B．0.8049

C．0.8149

D．0.8249

E．0.8349

【答案】B

【解析】由于v==0.9756，而已知vp₇₀=0.9，故

p₇₀=0.9/0.9756=0.9225，q₇₀=1－0.9225＝0.0775

由递推方程式A₇₀=vq₇₀+vp₇₀·A₇₁，得：

==0.8049

50．（41）的人投保死亡年末赔付1的终身寿险，Z为赔付现值变量，假定利率i=2.5%，p₄₀=0.998，趸缴纯保费为A_x，且A₄₁－A₄₀＝0.007，²A₄₁－²A₄₀＝0.0043。则Var(Z)=（　）。

A．0.084

B．0.086

C．0.088

D．0.090

E．0.092

【答案】A

【解析】由于q₄₀=1－p₄₀＝1－0.998=0.002，v==0.9756。

由递推式A₄₀＝vq₄₀+vp₄₀A₄₁和已知A₄₁－A₄₀=0.007，得：

A₄₁－0.007=vq₄₀+vp₄₀A₄₁

解得：=0.3398；

又由递推式和已知²A₄₁－²A₄₀＝0.0043，得：

解得：=0.1239。

故。

51．一个45岁的人投保终身寿险。保险合同约定：

（1）如果这个人在65岁之前死亡，保险公司年末赔付20000元；

（2）如果这个人在65岁之后死亡，保险公司年末赔付10000元。

已知趸缴纯保费A₄₅＝0.25，A₆₅＝0.40，，则该终身寿险趸缴纯保费为（　　）。

A．2000

B．3000

C．4000

D．5000

E．6000

【答案】B

【解析】该保单可以分解为一个10000元的终身寿险和10000元的20年定期寿险的组合，则该保单趸缴纯保费为：1000A₄₅+10000。

其中，

而由两全保险与定期寿险和生存保险的关系，得：

从而

故=0.05。

所以该保单趸缴纯保费为：1000A₄₅+10000=10000×0.25+10000×0.05=3000（元）。

52．(x)岁的人投保15年期的生存保险，Z为死亡赔付为1的现时值随机变量。已知：在这15年中死力μ恒定；v=0.95；Var(Z)＝0.05E(Z)。则q_x=（　）。

A．0.0052

B．0.0068

C．0.0075

D．0.0082

E．0.0091

【答案】B

【解析】已知死力恒定，故。

由于Z为生存保险死亡赔付为1的现值随机变量，于是，对于n=15有：

E(Z)=v¹⁵₁₅p_x=0.95¹⁵(p_x)¹⁵；E(Z²)=v^15×2₁₅p_x=0.95³⁰(p_x)¹⁵。

Var(Z)=E(Z²)－E²(Z)=0.95³⁰(p_x)¹⁵(1－p_x¹⁵)。

又已知Var(Z)=0.05E(Z)，即有：

解得：(p_x)¹⁵=0.9026，故p_x==0.9932，

所以 q_x=1－p_x=1－0.9932=0.0068。

53．已知：

（1）X是(35)岁的人投保保额为7的25年期定期寿险现值随机变量；

（2）Y是(35)岁的人投保保额为4的25年延期，10年定期寿险现值随机变量；

（3）E(X)=3.5，Var(X)＝6.5；E(Y)＝0.25；Var(Y)＝0.2。

则Var(X+Y)=（　　）。

A．4.86

B．4.95

C．5.32

D．5.92

E．6.10

【答案】B

【解析】由于，故

，

因为两种寿险模型不能同时发生，所以XY=0，故E[XY]=0。

从而Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X，Y)

=Var(X)+Var(Y)+2[E(XY)－E(X)·E(Y)]

=6.5+0.2+2[0－3.5×0.25]

=4.95。

54．一群（x）岁的人，已知利率i=0.025，且有30%是吸烟者(s)，70%是不吸烟者(ns)，）他们未来3年的死亡概率为：

假设从这群人中随机抽取一人作为被保险人，则10000=（　）。

A．2829

B．2928

C．3028

D．3128

E．3228

【答案】B

【解析】设z是未来赔付为1的现值随机变量，v=，p_x=1－q_x，则

根据全概率公式有：

=0.3×0.3486+0.7×0.2689

=0.2928。

故10000=2928。

55．(80)岁人的购买递减定期寿险，如果被保险人在第k（k＝1，2，…，19）年内死亡，赔付为20－k+1，死亡年末赔付。已知：

（1）i＝0.025；

（2）在一张给定的生命表中，q₈₀＝0.18，并由此计算的此险种的保费为15；

（3）若其他生命表函数不变，但q₈₀变为0.1，并由此计算的保费P。

则P=（　　）。

A．14.36

B．14.46

C．14.56

D．14.66

E．14.76

【答案】C

【解析】由于，利用递推公式，得递减的20年定期寿险纯保费(DA)为：

故当q₈₀=0.18，有：

解得：。

当q₈₀变为=0.1，而其他生命表函数不变，由于只与q₈₁相关，故维持不变，所以

=14.56。

56．已知一个数列μ(k)用以下的递推公式定义：

已知：，，μ(80)＝1。则μ(40)=（　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】A

【解析】由μ(k)的递推公式，得：

从k=41开始，得：

=vq₄₀+v²p₄₀q₄₁+

即μ(40)等于40岁投保一个保额为1的40年两全保险的精算现值。

57．（x）准备购买一份3年期两全寿险。已知死亡概率为q_x_＋_k=0.05(k+1)（k=0，1，2）。死亡年末受益赔付为b_x+k=10000+500k（k=0，1，2）；到期生存赔付为10000。年利率i=0.05，则其趸缴纯保费为（　）。

A．8855.44

B．8866.55

C．8877.55

D．8888.44

E．8899.27

【答案】C

【解析】由于E(z)==，

其中=；=··…·。

故E(z)=vb_x·q_x+v²b_x+1·p_x·q_x+1+v³b_x+2·p_x ·p_x+1·q_x+2+v³·p_x·p_x+1·p_x+2

=8877.551。

58．假定寿命服从常值死力分布，=0.05，=0.5，则=（　　）。

A．0.4

B．1

C．2

D．5

E．10

【答案】D

【解析】由于服从常值死力分布，所以

解得：μ=0.05，故

。

59．假设Pr{K(x)=k}=0.06(0.94)^k，k=0，1，2，…，利率为常数6%，则A_x和Pr(v^K+1>A_x)分别为（　　）。

A．0.50；0.49

B．0.53；0.49

C．0.61；0.50

D．0.67；0.53　

E．0.69；0.57

【答案】A

【解析】（1）；

（2）Pr(v^k+1>A_x)=Pr[K+1<ln(A_x)／(－δ)]=Pr(K=k)，

其中[s]=ln(A_x)／(－δ)－1=10，

所以Pr(v^k+1>A)==1－0.94¹¹=0.4937。

60．有500位40岁的人共同出资建立一个基金。该基金在每个成员死亡的年末支付1000元给死者的指定收益人。已知i=6%，A₄₀=0.15703，l₄₅／l₄₀=0.98998，1000A₄₅=182.27。前5年这群人的实际死亡情况是：第一年死亡2个，第二年死亡2个，第三年死亡3个，第四年死亡3个，第5年死亡3个。基金的实际投资收益情况是第一年的利率为5%，第二和第三年均为6%，第四和第五年为7%。在第五年末，基金预期的余额与基金实际的余额间的差为（　　）元。

A．5912

B．－6030

C．6120

D．－6500

E．6745

【答案】E

【解析】由已知，得：1000A₄₀=1000=157.03（元），

因此在第五年末，基金预期金额为：500×(l₄₅／l₄₀)×1000A₄₅=98152.43（元）。

对于实际的基金，有：

在时刻0时收集到的基金总量为80=500×157.03=78514.75（元），这些钱到时刻1时的积累值为B₀(1+i₁)=78514.75×1.05=82440.49（元），第一年出现2个死亡，需要支付2000元的保险责任，因此在支付保险责任后，1时的基金余额为：B₁=82440.49－2000=80440.49，

类似地，在支付保险责任后，2、3、4和5时的基金余额分别为：

B₂=B₁(1+i₂)－2000=8044.49×1.06－2000=83266.92（元）

B₃=B₂(1+i₂)－3000=8366.92×1.06－3000=85262.93（元）

B₄=B₃(1+i₄)－3000=85262.93×1.07－3000=88231.34（元）

B₅=B₄(1+i₅)－3000=88231.34×l.07－3000=91407.53（元）

故基金预期金额与实际金额相差98152.43－91407.53=6744.90（元）。

61．假设死力μ=0.04，利息强度δ=0.06均为常数。在死亡年度末支付单位保险责任的30年期定期两全保险的现值随机变量的精算现值为（　　）。

A．0.046

B．0.120

C．0.221

D．0.369

E．0.419

【答案】E

【解析】对定期死亡保险，有：

对定期死亡保险，有：0.049787。

故对于两全保险，有：。

62．假设(x)的死力为常数μ，利息强度为常数δ，(IA)_x表达式正确的是（　）。

A．

B．

C．　

D．

E．

【答案】B

【解析】由已知得：

63．王某在40岁时投保了3年期10000元定期寿险，保险金在死亡年年末赔付。死亡率q₄₀=0.001650，q₄₁=0.001812，q₄₂=0.001993，年利率为5%。则趸缴纯保费为（　　）元。

A．47.18

B．48.520

C．49.28

D．50.72

E．62.12

【答案】C

【解析】由已知得趸缴纯保费为：

其中，₂p₄₀=p₄₀·p₄₁=(1－q₄₀)(1－q₄₁)，

故

=49.28（元）。

64．张某在50岁时投保了一份保额为100000元的30年定期寿险。保险金在死亡年末给付。假设，预定年利率为0.08，则该保单的趸缴纯保费为（　　）元。

A．18468.70

B．19856.23

C．19951.23

D．20045.23

E．20468.70

【答案】E

【解析】令t为张某在50岁投保后于t年后死亡，由于该生命表的极限年龄是105岁，所以t的取值范围是0到55。故趸缴纯保费为：

其中；

。

故

=20468.70（元）。

65．王女士60岁时购买了保额为50000元的终身寿险。保险金在死亡年末给付。已知，预定年利率为0.06，则该保单的趸缴纯保费为（　）元。

A．12468.7

B．15990.5

C．23456.9

D．23521.9

E．24000.0

【答案】B

【解析】令t为王女士在60岁投保后于t年后死亡，由于该生命表的极限年龄是110岁，所以t的取值范围是0到50。故趸缴纯保费为：

50000A₆₀=50000

其中；

。

故50000A₆₀=50000

=1000=1000×

=15990.54（元）。

66．李某在40岁时买了保险额为20000元的终身寿险，已知他的生存函数为，死亡赔付在死亡年末发生，预定年利率i=10%。则该保单的精算现值为（　）元。

A．3070.65

B．3170.65

C．3273.69

D．3277.72

E．3377.72

【答案】A

【解析】已知，故其极限年龄为105岁，且

；

。

故该保单精算现值为：

=3070.65（元）。

67．张某在50岁时购买了一份30年的两全保险，死亡年年末给付，保额为100000元，年利率为0.08，。则该保单的趸缴纯保费为（　　）元。

A．20468.70

B．21468.70

C．23985.85

D．24985.85

E．25985.85

【答案】D

【解析】由已知得

；

所以

=20468.70（元）；

故该两全保险保单的趸缴纯保费为：

=24985.85（元）。

68．设(40)投保了5年定期寿险，保险金额为10万元，在死亡年度末给付，其中i=0.04。在生命表中，已知：l₄₀=966271，d₄₀=1597，d₄₁=1782，d₄₂=1919，d₄₃=2107，d₄₄=2310。则趸缴纯保费为（　　）元。

A．872

B．883　

C．899

D．912

E．934

【答案】B

【解析】因为

=0.008834，

故100000=100000×0.008834=833.40（元）。

69．小王今年40岁，其选择投保了某项5年定期寿险，保险金额为10万元，并且在死亡时立即给付。在生命表中，已知：l₄₀=966271，d₄₀=1597，d₄₁=1782，d₄₂=1919，d₄₃=2107，d₄₄=2310。假设年利率i=0.04，则其趸缴纯保费是（　　）元。

A．800

B．853

C．870

D．901

E．921

【答案】D

【解析】由于，

其中i=0.04，δ=ln(1+i)=lnl.04=0.03922，

=0.008834。

故。

所以100000=100000×0.00901=901（元）。

70．现年40岁的李先生，为自己购买了一份寿险保单，保单利益规定：若他在未来20年内死亡，则受益人在他死亡年度末获得保险金8000元；若在20年之后死亡，则获保险金10000元。已知i=4%，M₄₀=49.711857，M₆₀=40.368142，D₄₀=202.665108。则其趸缴纯保费为（　　）元。

A．2105

B．2245

C．2361

D．2457

E．2578

【答案】C

【解析】此寿险可分为两部分，一部分为前20年的定期寿险，保险金额为8000元；另一部分为延期20年后的终身寿险，其保险金额为10000元。

故其趸缴纯保费为：

=2360.70（元）。

71．小张为现年60岁的母亲购买了一份终身寿险保单，保单利益为：若被保险人在保险期第一年内死亡，则在年末给付保险金7000元；若在第二年内死亡，则在年末给付保险金7100元，即在以后，死亡时间每推迟一年，保险金额增加100元。已知i=2%，M₆₀=184.857509，D₆₀=274.336777，R₆₀=3538.387666。则这种寿险的趸缴纯保费为（　　）元。

A．5939

B．6012

C．6120

D．6230

E．6328

【答案】A

【解析】此寿险可分解为两部分，一部分为给付保险金不变的寿险，不论被保险人什么时候死亡保险金给付都是6900元，另一部分为变额寿险，保险金的给付按死亡时间推移，每年递增100元，即这种寿险的趸缴纯保费为：

=5939.25（元）。

72．给定i=6%，1000q₂₀=1.04878，1000q_2l=1.04784，1000q₂₂=1.03056。则对于(20)岁的1000个单位保费的离散型三年期定期死亡保险的趸缴纯保费为（　）。

A．0.97

B．1.90

C．2.78

D．5.65

E．6.52

【答案】C

【解析】由于1000=1000vq₂₀+1000，

1000=1000vq₂₁+1000vp_2l，

1000=1000vq₂₂，

由已知1000q₂₀=1.04878，1000q_2l=1.04784，1000q₂₂=1.03056，

p₂₀=1－q₂₀，p_2l=1－q₂₀，v=1/1.06，

所以1000=0.97，1000=1.90，

故1000=2.78。

73．对(x)的一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概率如表2-13所示。假设年利率为6%，则这一保单的精算现值为（　　）。

表2-13 变额寿险的各年死亡赔付额和死亡概率

A．36632

B．36829

C．36954

D．37548

E．38852

【答案】B

【解析】依题意，这一保单的精算现值为：

=36829。

74．考察保险金额为1个单位的延期5年的终身寿险，设年龄为x岁的被保险人死力＝0.04，利力＝0.10，Z表示给付死亡受益金在投保时的现值随机变量。则方差Var(Z)=（　　）。

A．0.0106

B．0.0201

C．0.0301

D．0.0401

E．0.0406

【答案】C

【解析】依题意可知，未来寿命T=T(x)的密度函数为：

所以

=2exp(－0.7)/7

=0.1419,

＝0.0502，

故=0.03006。

75．对于连续型终身寿险，在常力μ和常数利息强度δ的假设下，Var(v^T)=（　）。

A．μ/(μ+δ)

B．μ/(μ+2δ)

C．[μ/(μ+δ)]²

D．μ/(μ+2δ)+[μ/(μ+δ)]²　

E．μ/(μ+2δ)－[μ/(μ+δ)]²

【答案】E

【解析】因为=E[ν^T]===μ/(μ+δ)，

==μ/(μ+2δ)，

所以Var(ν^T)=－=μ/(μ+2δ)－[μ/(μ+δ)]²。

76．对于连续型终身寿险，设T(x)在(0，100)上均匀分布，利息强度为常数0.06，则Var(ν^T)=（　）。

A．0.0451

B．0.0557

C．0.0675

D．0.0779

E．0.0782

【答案】B

【解析】因为=1/100，====0.166254，

===，

所以Var(ν^T)=－=－=0.055693。

77．设T(x)在(0，100)上均匀分布，利息强度为常数0.06，则v^T将超过的概率为（　　）。

A．0.166

B．0.285

C．0.299

D．0.322

E．0.328

【答案】C

【解析】因为====0.166254，

Pr｛v^T>｝=Pr{T<ln/(－δ)}=_sq_x=s/100，

其中δ=0.06，s=ln/(－δ)=ln0.166254/(－δ)=29.904，

所以Pr{ν^T>}=0.29904。

78．对于某种连续型死亡保险，有50000个同为x岁的相互独立的被保险人，他们都服从常数死力μ=0.04的生存模式，保险金额为20万元。

假设保险公司要建立一个基金来应付对死亡的支付，该基金的利息强度为δ=0.03。为了使该基金有90%的把握在每个被保险人死亡时有充足的资金进行支付，则在t=0时，该基金的最小量为（　）万元。

A．57230.9

B．57331.3

C．57432.9

D．57634.3

E．57934.9

【答案】D

【解析】设该基金的最小量为G万元；T_i为第i个被保险人未来生命时间长度随机变量，i=1，2，…，5000。则保险公司支付给i的保险金额的现值为Z_i=20，并且，保险公司所需要支出的总的保险金额为：Z=Z₁+Z₂+…+Z₅₀₀₀。

已知被保险人相互独立，并且服从相同的生存模式，所以Z_i（i=1，2，…，5000）独立同分布。根据大数法则知，A近似服从正态分布，且其均值方差分别为：

E[Z]=E[Z_l+Z₂+…+Z₅₀₀₀]=5000E[Z₁]，

Var(Z)=Var(Z_l+Z₂+…+Z₅₀₀₀)=5000Var(Z₁)

由题设知，E[Z₁]=E[20v^T₁]=20=20=20()

=20μ/(μ+δ)=20×0.04/(0.03+0.04)=80/7，

E[(Z₁)²]=E[400v^2T₁]=400=400=400μ/(μ+2δ)

=400×0.04/(0.06+0.04)=160，

Var(Z₁)=E[(Z₁)²]－E²[Z₁]=160－(80/7)²，

所以E[Z]=5000×80/7=57142.86，Var(Z)=5000×(160－(80/7)²)=146938.76，

从而，Z～N(57142.86，146938.76)或～N(0，1)，

所以=0.9，或

Pr{Z≤1.282×+57142.86=57634.28}=0.9，

即：在t=0时，该基金的最小量为57634.28万元就能保证基金有90%的把握进行支付。

79．假设死力μ=0.04，利息强度δ=0.06均为常数。对于连续型单位保额的30年定期死亡保险，其现值随机变量的精算现值为（　　）。

A．0.31

B．0.33

C．0.38

D．0.44

E．0.48

【答案】C

【解析】其精算现值为：

===[1－e^-30(δ+μ)]=0.4(1－e^-3)=0.380085。

80．假设一种连续型单位保额的30年定期生存保险，已知死力μ=0.04，利息强度δ=0.06。考虑则其现值随机变量的方差为（　　）。

A．0.0541

B．0.0575

C．0.0589

D．0.0592

E．0.0596

【答案】B

【解析】设此定期生存年金的现值随机变量为Z，

因为=v³⁰·₃₀p_x=e^-30(δ+μ)=e^-3，

所以Var(Z)=ν⁶⁰·₃₀p_x·₃₀q_x=e^-30(2δ+μ)(1－e^-30μ)=0.05751。

81．已知死力μ=0.04，利息强度δ=0.06。考虑连续型单位保额的30年期定期两全保险，则其现值随机变量Z的方差Var(Z)=（　　）。

A．0.0692

B．0.0710

C．0.0714

D．0.0719

E．0.0725

【答案】C

【解析】分别用Z_l、Z₂表示定期死亡和生存保险的现值随机变量。

因为===[1－e^-30(δ+μ)]=0.4(1－e^-3)=0.38，

Var(Z₁)=－=[1－e^-30(2δ+μ)]－0.38²=0.1034778；

=v³⁰·₃₀p_x=e^-30(δ+μ)=0.049787，

Var(Z₂)=ν⁶⁰·₃₀p_x·₃₀q_x=e^-30(2δ+μ)(1－e^-30μ)=0.05751。

所以Var(Z)=Var(Z₁)+Var(Z₂)－2=0.0713822。

82．假设（x）的死力为常数，利息强度为常数，则对于保额递增的终身寿险的精算现值=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】E

【解析】

=。

83．已知死力为常数，利息强度为常数，考虑（x）的保额递减的n年定期寿险，则=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】D

【解析】

=。

84．对于保额按年递增，并且每年递增m次的终身寿险，假设（x）的死力为常数，利息强度为常数，则=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】C

【解析】

85．已知=100，0≤≤100，利力，年龄为30岁的王先生购买了一张20年期的人寿保险，保单生效期时间t死亡时收益金额为e^0.06t，则此保险的趸缴纯保费为（　　）。

A．0.0855

B．0.1855

C．0.2857

D．0.3857

E．0.4859

【答案】C

【解析】令随机变量为T(x)，给付数额为b_t。

则随机变量的现值为：Z=b_tv_t=e^O.O6te^-0.O6t=1，

故趸缴纯保费为：

=20/70=0.2857

86.Z是（x）的n年定期寿险，b_t是在死亡给付额现值随机变量，并且b_t=(1＋i)^-t，则Var(Z)=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】D

【解析】由于

所以；

。

故=。

87．现年40岁的李教授购买了25年期的连续型定期寿险，已知生存人数，利力=0.05，则此种保险给付数额1元在签单时的Z现值的方差Var(Z)=（　）。

A．0.0378

B．0.0467

C．0.0946

D．0.0998

E．0.1845

【答案】C

【解析】因为，

所以

，

所以

=0.2378，

故

=0.0946。

88．设利力为，则=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】D

【解析】因为

，

另外由知，=100，

所以

89．考虑连续型终身寿险，已知给付函数，利力。则=（　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】C

【解析】因为

=，

所以

=。

90．考虑一个现年都为x岁的团体，已知：

（1）其中30%为吸烟者而70%为不吸烟者；

（2）对吸烟者有常值死力0.06；

（3）对不吸烟者有常值死力0.03；

（4）δ=0.08。

则对于一个从该团体中随机选取的个体的值为（　　）。

A．10

B．11

C．12

D．13

E．14

【答案】E

【解析】用NS表示不吸烟者；S表示吸烟者；Prob(NS)，Prob(S)分别表示该生命为不吸烟者和吸烟者的概率，则

=E[v^T(x)]=E[v^(x)|NS]×Prob(NS)+E[v^T(x)|S]×Prob(S)

=×0.70+×0.30=0.3195。

同理有：

=×0.70+×0.30，

所以===14.1。

91．100个独立生命购买一份5年延期终身寿险，保额为10，并且在死亡发生时支付，已知μ=0.04，δ=0.06，记F为保险人从该团体收取的保费。

运用正态近似计算F=（　　）时，才能使得保险人有能力支付所有索赔的概率为0.95。

A．270

B．280

C．290

D．300

E．310

【答案】B

【解析】设Z为单生命给付现值随机变量，S为100个生命给付现值随机变量，则：

E(Z)===2.426，

E(Z²)=10²=10²××e^-0.8=11.233，

Var(Z)=E(Z²)－(E(Z))²=11.233－2.426²=5.348，

E(S)=100E(Z)=242.6，Var(S)=100Var(Z)=534.8。

根据=1.645，解得：F=281。

92．设Z₁是对(x)的给付额为1的n年期连续型两全保险的现值随机变量，Z₂是对(x)的给付额为1的n年期连续型死亡保险现值随机变量，已知：Var(Z₂)=0.01，νⁿ=0.30，_np_x=0.80，E(Z₂)=0.04。则方差Var(Z₁)=（　　）。

A．0.0046

B．0.0050

C．0.0052

D．0.0056

E．0.0059

【答案】C

【解析】设Z₃为(x)的给付额为1的n年生存保险给付现随机变量，则

，且P(T≥n)=_np_x，Z₁=Z₂+Z₃

故Var(Z₁)=Var(Z₂)+2Cov(Z₂，Z₃)+Var(Z₃)

而Z₂Z₃=0，因此Cov(Z₂，Z₃)=－E(Z₂)E(Z₃)。

故Var(Z₁) =0.01+2[－E(Z₂)E(Z₃)]+Var(Z₃)

=0.01－2×0.04×0.24+0.30²×0.8×(1－0.8)

=0.0052。

93．一个投资基金建立起来为400名x岁的独立生命提供保障，给定如下条件：

（1）在2008年1月1日，每个生命签发了一份10年延期终身寿险，保额为1000元，并且给付在死亡发生时支付；

（2）每个生命有一常值死力0.05，利力为0.07。

要使得该基金以0.95的可能将足以支付索赔，则采用正态近似方法计算的初始基金数为（　　）元。

A．55255

B．56454

C．58500

D．59302

E．60100

【答案】A

【解析】E(Z)=

=1000××e^－^1.2

=125.5，

Var(Z)=

=23610.16，

E(S)=400E(Z)=50200，Var(S)=400Var(Z)=9444064。

设初始基金数为k，则

0.95==

解得：k=1.645×+50200=55255（元）。

94．已知：=25；=ω－x，0≤x≤ω；T(x)是未来寿命的随机变量。则Var[T(10)]=（　　）。

A．65

B．93

C．133

D．178

E．333

【答案】C

【解析】==ω－==25，解得：ω=50。

故==40－=20，

Var[T(10)]=－20²

=－20²

=133。

95．某保险人承保的某台设备余命随机变量T服从参数α=20，β=0.01的伽马分布，并且该设备停止运转时保险人赔付一个单位，δ=0.05，则该险种的趸缴纯保费为（　）。

A．6^－²⁰

B．6^－²¹

C．5^－²⁰

D．5^－²¹

E．4^－²⁰

【答案】A

【解析】A==

=E(e^－^0.05x)=M_x(－0.05)

=6^－²⁰。

96．设=50(ω－x²)，0≤x≤ω，则Var(X)=（　）。

A．－

B．－

C．－

D．

E．－

【答案】E

【解析】由于S(x)===1－，故

F(x)=1－S(x)=1－(1－。

所以Var(x)=E(x²)－E²(x)=－

=－=－=－ω⁴。

97．已知投保人在t时刻死亡可立刻得到t个单位的赔付，μ_x+t=0.02，δ=0.05，t＞0，设此受益随机变量现值为Z，则Var(Z)=（　　）。

A．4.08

B．5.29

C．6.49

D．7.49

E．23.148

【答案】C

【解析】E(Z)==

=－0.02t×+

==4.082

E(Z²)==

==+

=23.148。

故Var(Z)=23.148－4.082²=6.485。

98．设投保人购买了10年延期的终身寿险，死亡时立即给付，保险金为l个单位，μ为常数0.04，δ为常数0.06，设Z为受益现值随机变量，则满足P(Z＞k)=0.5的k值为（　　）。

A．0.07

B．0.08

C．0.10

D．0.13

E．0.19

【答案】A

【解析】由于，

P(Z=0)=P(T≤10)=₁₀q_x===1－e^－^0.04×10=0.3297，

而P(Z=0)+P(0＜Z≤m)=0.5

故P(Z＜m)=0.5－0.3297=0.1703，

P(ν^T＜m)=0.1703，即P(e^－^δT＜m)=0.1703，P(T＞)=0.1703。

设=h，_hP_x=0.1703=e^－^0.04h，解得h=44.25。

因此有lnm=44.25×(－0.06)，

则m=e^44.25×(^－^0.06)=0.07。

99．由于个人购买不同保额的保单，对保险公司而言，可看作是一个随机变量，对于某种保险计划，保额分布的概率密度函数为：f(x)=kx^－³(x＞10)，其中x以千元为单位。

设a=20，f=0.10，c=10，保单按保额分为3段，10千元～20千元，20千元～50千元以及50千元以上.则各分段保额的费率，由高到低排列为（　　）。

A．25、23、22

B．23、22.6、22.3

C．24、23.6、22.3

D．26、25、24

E．23、21.6、20.3

【答案】B

【解析】由于f(x)=kx^－³，x＞10，

故====1，

解得：k=2×10²，所以f(x)=2×10²x^－³，x＞10。

①对于10千元～20千元段的保额：

==0.75

保额在10千元～20千元段的随机变量的概率密度为：f(x)=，

故E(x)==

==13.33，

故此段的费率为：R(b)===23；

②对于20千元～50千元段的保额：=0.21，

此段的保额随机变量x的概率密度为：f(x)=，

故E(x)==28.57，R(b)===22.6；

③对于50千元以上阶段的保额：1－0.75－0.21=0.04。

此阶段的保额随机变量x的概率密度为：f(x)==×10⁴x^－³，x＞50，

故E(x)==×10⁴×=100，

R(b)==22.3。

100．一份对于(x)岁的终身寿险，给出如下条件：

（1）Z表示给付死亡收益金在投保时的现值随机变量；

（2）死亡给付在死亡时刻发生；

（3）死力为常值μ_x(t)=0.02，t≥0；

（4）利力也为常值δ=0.08；

（5）b_t=e^0.03t，t≥0。

则Var(Z)=（　）。

A．0.070

B．0.075

C．0.080

D．0.085

E．0.090

【答案】D

【解析】由于Var(Z)=E(Z²)－E²(Z)，而

E(Z)=

=，

E(Z²)=

=，

所以Var[Z]=E(Z²)－E²(Z)=0.08503。

101．已知：=27.692，S(x)=1－x/ω，0≤x≤ω。则Var[T(30)]=（　）。

A．352.08

B．361.50

C．365.10

D．370.02

E．375.15

【答案】A

【解析】=

=t－

=40－

=27.692，

故ω=95，_tp₃₀=。

故Var[T(30)]=E[T²(30)]－E²[T(30)]

=－

=352.08。

102．设，，则在De Moivre死亡率之下，=（　　）。

A．0.010

B．0.028

C．0.056

D．0.076

E．0.186

【答案】D

【解析】由于，所以

===0.076

103．已知，在取整数时有，0≤x≤100，并且在所有年龄内服从均匀分布假设，则=（　　）。

A．0.73

B．0.85

C．0.99

D．1.02

E．1.74

【答案】C

【解析】

=0.99。

104．考虑一个延期五年的趸缴保费的终身寿险，死亡时赔付数额为10个单位，已知=0.06，=0.04，共有100人购买了这样的风险，F是保险人对100人收取的总保费，用正态分布近似使得保险人有充足的保险基金以应付所有的赔付的概率为0.95的F=（　　）。

A．243

B．281

C．350

D．534

E．730

【答案】B

【解析】设z是每个被保险人的赔付现值随机变量，S是100个被保险人的赔付现值随机变量，依题意有：

===3.639，

=8.04，

故E(S)=100E(z)=100×3.639=363.9，Var(S)=100Var(z)=100×8.040=804，

由题意，有:P(F＞S)=0.95，

则至少，故，

所以=1.645=411。

105．对于（）购买的保额为100000元的终身寿险，已知：

（1）死亡给付在死亡时支付；

（2）在30年内死亡的原因若是意外事故引起的，保险金双倍支付；

（3）=0.06；=0.008，≥0；

（4）由意外事故引起的终止力=0.002，≥1。

则该险种的趸缴保费为（　　）元。

A．11032.6

B．11764.7

C．1279.4

D．12794.6

E．14488.3

【答案】E

【解析】死亡收益现值为：

==11764.7（元）；

意外死亡给付现值为：

==2723.6（元）。

所以该险种的趸缴保费为：11764.7+2723.6=14488.3（元）。

106．设死力为常数μ，利力为常数δ，则对于连续型单位保额的n年定期寿险及终身寿险的趸缴纯保费分别为（　）。

A．；

B．；

C．；

D．；

E．；

【答案】E

【解析】因为利力=ln(1+i)，所以。

所以，单位保额的n年定期寿险的趸缴纯保费为：

。

对上述结果令，即得单位保额的终身寿险的趸缴纯保费：。

107．（x）购买终身寿险，死亡即刻给付1。假设利力为常值δ=0.06，寿命服从（0，ω）的de Moivre分布（ω=105），缴纳的保费为P=0.2，则对于（40）岁的人缴纳的保费大于赔付现值的概率为（　　）。

A．0.36

B．0.40

C．0.42

D．0.51

E．0.59

【答案】E

【解析】设赔付现值的随机变量为Z，则Z=v^t，t0，故有

已知寿命服从(0，ω)的de Moivre分布，则剩余寿命T～U(0，ω－x)，密度函数为：

所以

=1+

=0.59。

108．设（x）投保终身寿险，死亡即刻赔付1。记第i个赔付人的赔付现值随机变量为z_i，且签订保单时，（x）的剩余寿命满足常值死力假设，死力μ＝0.06，利力δ=0.03。若有100个（x）独立同分布的个体购买了该保险，每人缴纳的实际保费等于，其中k是附加的一个安全保障系数。在大样本场合正态分布假定下，要使总保费有95%的概率足够支付死亡赔付，则k=（　）。

A．4.328%

B．5.816%

C．5.946%

D．6.218%

E．0.634%

【答案】B

【解析】由已知条件得趸缴纯保费为：

而，

故死亡赔付方差为：。

由已知得100个人的总的保费收入为，

且总赔付额z服从正态分布，即z=z₁+z₂+…+z₁₀₀~N(100μ_z，100)，

其中。

依题意，得：Pr[z<100(1+k)]=0.95，

将其标准正态化，得：

，

故Ф=0.95，所以=Z_0.95=1.645，

解得：。

109．假定一个30岁的人购买了一份10年定期保险，死亡即刻赔付1，生存函数为，利率i＝0.1，赔付现值为z_t，则方差Var(z_t)=（　　）。

A．0.045

B．0.055

C．0.065

D．0.075

E．0.085

【答案】B

【解析】由已知得剩余寿命的概率密度为：

故x=30时，

所以Var(z_t)==0.0638－0.092²=0.055。

110．（40）投保20年两全保险，死亡即刻赔付5万元，期末生存赔付1万元。设死亡满足l_x＝100－x（0≤x≤100），利力δ=0.05。设z为该两全保险赔付现值变量，趸缴纯保费为E(z)，赔付现值的方差为Var(z)，则E(z)+=（　　）。

A．12988

B．14410

C．25976

D．26125.27

E．27150.69

【答案】E

【解析】l₀=100－0=100，s(x)=，故

f_X(x)=，f_X(40)=。

记z₁为保费是1单位元的20年定期寿险赔付现值变量，z₂为保费是1单位元的20年定期生存险赔付现值变量，则有：

z＝az₁+bz₂，a＝50000，b＝10000

所以

①该险种趸缴纯保费为：E(z)＝aE(z₁)+bE(z₂)，

其中

故E(z)＝50000×0.2107+10000×0.2453＝12988；

②该险种赔付现值变量的方差为：

其中

故Var(z)=50000²×0.1441+10000²×0.0902－(12988)²=200581856。

所以E(z)+=12988+=27150.69。

111．（x）投保延期10年的终身寿险，保额为1，保险金在死亡即刻给付。已知利力δ＝0.06，生存函数为s(x)=e^-0.04x（x≥0）。z_t表示赔付现值变量，则下列计算中正确的有（　　）。

（1）_10|_x=0.14715；

（2）Var(z_t)=0.02882；

（3）Pr(z=0)=0.67032；

（4）z_t的中位数ξ_0.5=0.0703。

A．（1）（2）（3）

B．（1）（2）（4）

C．（1）（3）（4）

D．（2）（3）（4）

E．（1）（2）（3）（4）

【答案】B

【解析】由已知得：z_t=v^t，t0，，故μ=0.04。所以

（1）

=0.14715；

（2）由于

=0.05047，

故=0.05047－0.14715²=0.02882；

（3）z=0表示这段时间属于延期范围，故

；

（4）由（3）知：有32.968%的死亡事件发生在延期范围内。由于0.32968＜0.5，说明z_t的中位数不在z=0上，则

Pr(z≤ξ_0.5)＝Pr(z＝0)+Pr(0＜z≤ξ_0.5)＝0.5

所以Pr(0＜z≤ξ_0.5)=0.5－Pr(z＝0)=0.5－0.32968=0.17032。

由于z=v^t=e^-δt，故

Pr(0＜z≤ξ_0.5)=Pr(0＜e^-δt≤ξ_0.5)=Pr(t≥)

===0.17032，

所以ξ_0.5=0.17032^δ/μ=0.17032^0.06/0.04=0.0703。

112．（x）投保延期20年的终身寿险，保险金在死亡即刻给付。假定利率i＝2.5%，死力为常值μ，完全平均余命。则该保单趸缴纯保费=（　　）。

A．0.0992

B．0.0996

C．0.1002

D．0.1042

E．1.1145

【答案】A

【解析】由已知得：δ＝ln(1+i)=ln(1.025)＝0.0247，

。

而在常值死力假设下，有：

解得：μ=1/13=0.077。

又=0.757。

故

＝0.0992。

113．（x）投保一10年期连续递增、死亡即刻给付保险，假设死亡赔付额b_t＝t，0≤t＜10，利力δ＝0.03，死力μ_x+t＝0.02为常数。在正态分布假定下，为了达到有95%的把握足够支付此人未来的赔付，则保险公司至少应该收取的保费为（　　）。

A．3.567

B．3.657

C．3.687

D．3.756

E．3.824

【答案】B

【解析】设此人赔付现值变量为z，收取的保费保费为P，根据题意，有：

则

E(z)=

=0.7216；

＝3.705，

故Var(z)＝E(z²)－[E(z)]²＝3.705－0.7216²＝3.1843。

所以z～N(0.7216，3.1843)，则 Pr(z<P)=Pr()=0.95，

故=Z_0.95=1.645，

解得：P==0.7216+1.645×=3.657。

114．已知（x）的人购买死亡即刻赔付1的定期寿险趸缴纯保费情况，如表2-14所示。假定此人要购买5年定期递减寿险，保险赔付额满足：

利率假定和死亡率假定不变，则该递减寿险的趸缴纯保费为（　　）。

表2-14 定期寿险趸缴纯保费

A．0.35

B．0.45

C．0.55

D．0.65

E．0.75

【答案】C

【解析】由已知条件得该递减寿险的趸缴纯保费为：

=0.02+0.05+0.09+0.15+0.24

=0.55。

115．对于一个30岁的投保人，Z为终身寿险死亡即刻赔付1的现值变量。已知l_x＝100－x（0≤x≤100），利力恒定为0.05，则f_Z(0.6)=（　）。

A．0.476

B．0.478

C．0.480

D．0.482

E．0.484

【答案】A

【解析】由于Z=v^t=e^-δt，δ=0.05，l₀=100，且

s(x)==，f_T(t)==，f_T(30)(t)=，故

，

所以，

故f_Z(0.6)==0.476。

116．假设寿命X服从[0，110]的均匀分布。对于一个40岁的投保人，Z为终身寿险死亡即刻赔付1的现值变量。已知年利率为i=2.5%，则Z的90%置信上限为（　　）。

A．0.832

B．0.841

C．0.851

D．0.862

E．0.875

【答案】B

【解析】由已知得：l_x=110－x，0≤x≤110。设T为未来余命，则（x）在未来t年的死亡概率为：

，0≤t≤70

又Z=v^t，v=(1+i)^-1，故

而Z的90%置信上限即为使F(z)=0.9成立的z值，

即，解得：z=0.841。

117．一个x岁的人投保死亡即刻赔付1的终身寿险，已知死力恒定为常值μ，利力δ=0.05，趸缴纯保费为=0.6。保险公司经过对风险和利率的重新评估，决定将上述精算假设调整如下，μ在原来的基础上增加0.02，利力调整为0.04。则调整后的趸缴纯保费为（　　）。

A．0.702

B．0.704

C．0.756

D．0.756

E．0.942

【答案】B

【解析】设死后即刻赔付1的现值变量为Z，则Z=v^t=e^-δt，_tp_x=e^-μt，故趸缴纯保费为：

=E(Z)=

所以

①在调整精算假设以前，=0.6，δ=0.05，故，解得：μ=0.075；

②在调整精算假设以后，，

故调整后的趸缴纯保费为：

=0.7037

118．设Z为(x)终身寿险死亡即刻赔付l的现值变量，已知未来余命T(x)的密度函数为：

且利力δ＝0.05，则Var(Z)=（　）。

A．0.007

B．0.009

C．0.011

D．0.013

E．0.015

【答案】C

【解析】由于，

由已知利力恒定，故有v^t=e^-δt，

，

其中Y～N(－1.25，25)，则

故；

同理，

=0.70，

故=0.70－0.83²=0.0111。

119．（40）投保一终身寿险，Z为该终身寿险死亡即刻赔付的现值变量。赔付金额b_t＝1+0.2t，贴现v_t＝(1+0.2t)^-2，死力为μ，_tp ₄₀μ_(40+t)＝0.02，0≤t≤50，则Var(Z)=（　）。

A．0.0125

B．0.0250

C．0.0334

D．0.0500

E．0.0625

【答案】C

【解析】由已知得死亡赔付为1的现值随机变量为：Z=b_tv_t=(1+0.2t)^-1，

由已知得密度函数为：f_T(t)=_tp₄₀μ_(40+t)=0.02，0≤t≤50。

故其趸缴纯保费为：

而，

故Var(Z)=E(Z²)－[E(Z)]²=0.0909－0.2398²=0.0334。

120．已知寿命服从de Moivre分布，利力恒定，假设极限年龄为100，且=40，终身寿险死亡即刻赔付1000元，则（40）的投保人的趸缴纯保费为（　　）。

A．333.4

B．625.0

C．666.7

D．725.0

E．733.3

【答案】C

【解析】已知寿命服从de Moivre分布，即未来余命T在(0，)服从均匀分布，故

假设死后即刻赔付1的现值变量为Z，则Z=v^t=，故

=。

已知极限年龄为100，故将=100－40=60代入，得所求的纯保费为：

121．一终身寿险的死亡即刻给付为1，并按恒定利力δ=0.05返还趸缴纯保费。若趸缴纯保费是按恒定死力μ＝0.06，恒定利息力2δ的纯均衡原理计算，则其趸缴纯保费为（　　）。

A．0.83

B．0.85

C．0.87

D．0.89

E．0.91

【答案】A

【解析】设死亡赔付现时值变量为Z，趸缴纯保费记作P。则根据题意，死亡即刻被保险人获得的受益金来自两个部分，一部分是死亡即刻给付的恒定受益金额1，另一部分是趸缴纯保费P按照δ=0.05的利息力积累到死亡即刻的积累值Pe^δt。

故受益函数为：；

贴现函数按照利力为2δ计算，即。

所以，

根据纯均衡原理，有：P=E(Z)。

又在死力恒定的条件下，有：

E()===；

E()===。

故

解得：。

122．设z₁是（x）岁的人投保死亡即刻赔付1的n年定期寿险的现值变量，z₂是（x）岁的人投保死亡即刻赔付1的n年定期两全保险的现值变量。已知：vⁿ＝0.200，_np_x＝0.450，E[z₂]＝0.350，Var[z₂]=0.060，则Var(z₁)=（　）。

A．0.0742

B．0.0845

C．0.0913

D．0.0932

E．0.0969

【答案】E

【解析】令z₃为（x）岁的人投保期末赔付1的n年定期生存保险的现值变量，根据已知条件，有：

根据定期两全保险与定期寿险和定期生存险的关系，有：z₂=z₁+z₃。

则 E(z₂)=E(z₁)+E(z₃)。

故 E(z₁)=E(z₂)－E(z₃)=0.35－0.09=0.26；

又Var(z₂)=E(z₁²)+E(z₃²)－[E(z₂)]²，

故 E()=Var(z₂)－E()+[E(z₂)]²

=0.06－0.018+0.350²

=0.1645。

所以Var(z₁)=E[]－E[]^２=0.1645－0.26²=0.0969。

123．（40）的人投保死亡即刻赔付为1的20年延期的终身寿险。已知l_x＝100－x（0≤x≤100），利力δ=0.05。设赔付现值变量为Z，则P(Z=0)=（　　）。

A．0.125

B．0.250

C．0.333

D．0.500

E．0.625

【答案】C

【解析】由已知条件得40岁的人未来余命的密度函数为：

且v^t=e^-δt。

由于延期20年，所以赔付现值变量为：

故==0.333。

124．100位相互独立的个体购买了延期10年的终身寿险，保额为1，死亡即刻给付。已知死力恒定为常值μ＝0.06，利力恒定为常值δ＝0.05，假定F是保险人从这100个人那里收取的趸缴总保费。用正态分布假设，要使其有95%的概率足够支付死亡赔付，F应为（　　）。

A．4.27

B．10.23

C．18.16

D．21.56

E．22.44

【答案】D

【解析】保额为1，延期10年的死亡即刻赔付终身寿险的趸缴纯保费为：

=0.181566。

记100人的死亡赔付现值变量为S，则S=z₁+z₂+…+z₁₀₀（z_i为第i个人的死亡赔付现值变量），则E[S]=100E(z)=100×_10|x=18.1566；

又==

=0.07571，

所以=100×(0.07571－0.181566²)=4.27438。

则根据题意，收取的趸缴总保费F要满足：Pr(S≤F)=95%，

将其标准正态化得：=0.95，

故=Z_0.95=1.645，

解得：=18.1566+=21.558。

125．假定（30）购买了保额为1的终身寿险，寿命服从ω=100的de Moivre分布，利力δ=0.05，记死亡即刻赔付额为1的现值变量为z，则Var(z)=（　　）。

A．0.055

B．0.066

C．0.077

D．0.088

E．0.099

【答案】B

【解析】由已知得，，且在de Moivre分布下有：

，（）

所以，

故。

又，

故。

因此。

126．考虑某（30）购买的保额为1的30期年两全保险，假设寿命服从ω=100的de Moivre分布，利息力δ=0.05，记死亡即刻赔付现值变量为z，则E(z)+=（　）。

A．0.55

B．0.66

C．0.77

D．0.88

E．0.99

【答案】A

【解析】记30年定期保险死亡赔付现值变量为z₁，到期生存保险赔付现值变量为z₂，则z=z₁+z₂。

由于，且在de Moivre分布下有：

；s(x)=（）

所以 E(z₁)=；

又，故

所以E(z)==0.222+0.1275=0.3495。

而E(z)=；

E(z)=，

所以

；

。

故 E(z)+=0.3495+=0.55。

127．假定（30）的人投保保额为1的终身寿险，且寿命服从μ=0.04的常值死力分布，利息力δ=0.05，记死亡即刻赔付现值变量为z，则Var(z)=（　）。

A．0.0769

B．0.0882

C．0.0894

D．0.0945

E．0.1250

【答案】B

【解析】由于，且在常值死力分布下，有：

故；

又

故。

所以。

128．(50)购买一死亡受益递增型终身寿险，已知b_t＝10000+100t，寿命服从ω=100的de Moivre分布，δ＝0.05，则趸缴纯保费为（　）。

A．734

B．3672

C．4242

D．4406

E．4570

【答案】C

【解析】由已知，得

=4241.8。

129．假定寿命服从μ＝0.04的常值死力分布，利力δ＝0.05，则=（　　）。

A．0.1807

B．0.2637

C．0.3268

D．0.4066

E．0.4444

【答案】A

【解析】解法①：由于服从常值死力分布，故

故，

而

，

故；

解法②：

，

由于，

所以。

故。

130.Z₁是连续型n年定期寿险的现值变量，Z₂是连续型n年定期两全寿险的现值变量，Y是n年定期生存保险的现值变量。已知E(Z₁)＝0.05，Var(Z₁)＝0.02，E(Y)＝0.16，Var(Y)＝0.0064，则Var(Z₂)等于（　　）。

A．0.0104

B．0.0136

C．0.0184

D．0.0264

E．0.0424

【答案】A

【解析】由已知，得：

=Var(Z₁)+Var(Y)－2E(Z₁)E(Y)

=0.0104。

131．假定寿命服从常值死力假设，利力恒定，已知，则死力μ=（　　）。

A．0.02

B．0.03

C．0.04

D．0.05

E．0.06

【答案】E

【解析】由于服从常值死力假设，故f_T(t)=，v^t=，

由已知，得：

两式联立，解得：μ＝0.04，δ＝0.06。

132．已知δ=0.06，μ_x+t＝0.04，t≥0，则=（　　）。

A．－0.037

B．－0.07

C．0.037

D．0.07

E．0.087

【答案】A

【解析】为按算术数列续年递增的2年定期保险，为按年连续递增的2年定期寿险，故

；

＝0.4×(1－e^－^0.1)+0.8×(e^－^0.1－e^－^0.2)

＝0.107；

所以。

133．已知：100q₂₀=0.104878，δ=6%，死亡服从UDD假设，则对(20)的保险金额为100000元的一年期定期死亡保险的趸缴纯保费为（　　）元。

A．101.79

B．102.63

C．103.56

D．104.87

E．105.82

【答案】A

【解析】由于保险金额为1的死亡保险的现值为：

而在UDD假设下，，

故所求趸缴纯保费为：

=1000×0.104878×

=101.79（元）。

134．假设死力μ和利息强度δ均为常数，则=（　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】A

【解析】由已知条件得：

=μ/(μ+δ)。

135．已知某地区新生婴儿的寿命随机变量在(0，100)上服从均匀分布，利息强度δ=6%。则对该地区的(25)的人发行的30年期1000元保费的两全保险现值随机变量的精算现值为（　）元。

A．185

B．285

C．434

D．560

E．991

【答案】B

【解析】已知新生婴儿的寿命随机变量在(0，100)上服从均匀分布，所以25岁的人在(0，100)上仍服从均匀分布，且其概率密度函数为：f(t)=1/75。

设Z为单位保费的两全保险的精算现值随机变量，则

其中；

，

故 =1000×(0.18549+0.09918)=284.67（元）。

136．假设死力μ=0.04，利息强度δ=0.06均为常数。则在死亡时刻支付单位保费的30年期两全保险的趸缴纯保费为（　　）。

A．0.0498

B．0.1037　 C．0.2093

D．0.3824

E．0.4298

【答案】E

【解析】由于两全保险是由定期死亡保险和定期生存保险组成。

其中定期死亡保险的趸缴纯保费为：

；

定期生存保险的趸缴纯保费为：=0.049787。

故此两全保险的趸缴纯保费为：=0.38+0.049787=0.429787。

137．已知某地区新生婴儿的寿命随机变量在(0，100)上服从均匀分布，假设利息强度δ=0.06，考虑该地区(25)岁的一份在死亡时刻支付1000单位保费的延期10年的终身寿险，则其保费现值随机变量的第95个百分点=（　　）。

A．0.119

B．0.192

C．0.325

D．0.438

E．0.524

【答案】D

【解析】由于保险金额为1的死亡保险的现值为：

已知新生婴儿的寿命随机变量在(0，100)上服从均匀分布，故对v⁷⁵<Z<v¹⁰，有

F(z)=Pr(Z≤z)=Pr(v^T≤z)+Pr(Z=0)

=Pr[T≥lnz/(－δ)]+Pr(Z=0)

=[75－lnz/(－δ)]/75+10/75

=[85－lnz/(－δ)]/75

=(85－s)/75，其中s=lnz/(－δ)；

因此由Z的分布知，F(z)=(85－s)/75=95%时，s=13.75。

由s=lnz/(－δ)，得：z=exp(－sδ)=0.438235，

即=0.438235。

138．对(35)男性发行的30年期两全保险，其死亡责任为1000元并在死亡时刻支付。已知i=6%，=0.12299，=0.44681，l₆₅=785247，l₃₅=966400。该保险的精算现值为（　）元。

A．203

B．210

C．224

D．230

E．449

【答案】A

【解析】两全保险可以表示为定期保险和生存保险之和，故

=(0.06/ln1.06)×122.99+(1.06)^－³⁰×785247/966400×[1000－(0.06/ln1.06)×446.81]

=203.03。

139．某人在30岁投保终身寿险，假设生存函数在0到100间均匀分布，Z为死亡赔付现值随机变量，保额在死亡时立即给付。已知利息力为0.05，则该保单的趸缴纯保费为（　）。

A．0.19397

B．0.2568

C．0.2586

D．0.2771

E．0.2778

【答案】D

【解析】由于生存函数在0到100间均匀分布，所以当x=30时，剩余寿命在[0，70]间均匀分布，即其概率密度函数为。由于死亡时立即给付，故该保单的趸缴纯保费为：=0.2771。

140．给定被保险人的分布函数为，δ=0.05。记Z为给付1个单位保险金额的终身寿险的现值随机变量，则和Var(Z)分别为（　　）。

A．0.317；0.066

B．0.320；0.069

C．0.325；0.071

D．0.327；0.073

E．0.332；0.078

【答案】A

【解析】因为，所以。

当x=40时，，

故

；

而

，

故=0.166254－0.100324=0.06593。

141．现年40岁的李教授，投保了20年定期的连续型两全保险，保险金额为2000元。已知利力δ=0.03，生存函数的死力μ=0.04为常数。则未来保险金给付的现值方差为（　　）。

A．85200

B．89500

C．90800

D．92700

E．93200　

【答案】C

【解析】设未来保险金给付的现值为Z，则：

其中

=0.4812；

=0.4585。

故Var(Z)=2000²×(0.4812－0.4585)=90800。

142．某人30岁向一家寿险公司购买三十年定期死亡保险，死亡发生t后立刻给付额为e^0.05t，假定该30岁的被保险人死亡服从l_x=100－x，0≤x≤100，且已知利息力δ=0.05，要求投保人在30岁签单时应缴的趸缴纯保险费为（　）。

A．0.4286

B．0.4713

C．0.5287

D．0.5714

E．0.6072

【答案】A

【解析】已知利息力δ=0.05，故v=e^-δ=e^-0.05。

所以趸缴纯保险费为：=0.4286。

143．已知：A_x=0.25，A_x+20=0.4，=0.55，i=0.03，=0.02956。则在UDD假设下，=（　）。

A．450.65

B．450.79

C．550.75

D．650.77

E．850.82

【答案】Ｃ

【解析】在UDD假设下：

①－②得：，即=0.5。

所以=50.75+500=550.75。

144．考虑一年定期保险，死亡时即刻赔付10个单位，20岁的投保人购买了此保险，并服从如表2-15所示的死亡律。假设年龄死亡率服从均匀分布，利率为10%，则其趸缴保险费为（　　）。

表2-15 生命表

A．0.289

B．0.298

C．0.402

D．0.456

E．0.589

【答案】Ａ

【解析】

=0.0289。

所以其趸缴保险费为：10×0.0289=0.289。

145．考虑两年期的定期保险，在死亡即刻赔付10个单位。20岁的小李购买了这种的保险，并且被保险人服从如表2-16所示的生命表。

表2-16 生命表

假设在生命表的每两年的年龄内服从均匀分布，年利率为10%，则该险种的趸缴保险费为（　　）。

A．0.068

B．0.182

C．0.268

D．0.282

E．0.368

【答案】B

【解析】由（20，100），（22，98）得到l_x的函数关系式为：

l_x=，20≤≤22

故

=0.0182，

所以所求趸缴保险费为：10×0.0182=0.182。

146．某保险公司专门为大学生设计了一种四年期两全保险，大四一般会有特殊风险，故保险公司认为被保险人服从如表2-17所示的死亡率。

表2-17 生命表

其中18岁到21岁以及22岁到23岁之间均服从均匀分布，死亡时即刻假设支付一个单位，利率为10%，则其趸缴纯保费为（　　）。

A．0.0174

B．0.0317

C．0.6552

D．0.6874

E．0.7128

【答案】C

【解析】由（18，100），（21，99）得到l_x的函数关系式为：

l_x=，18≤≤21

故

=0.00870+

=0.00870+0.00717

=0.01586，

而=0.66935，

故=0.01586+0.66935=0.68521。

147．考虑18岁人的四年定期寿险，死亡时所有年末给付1个单位的保险金，且服从如表2-18所示的生命表。

表2-18 生命表

假设在18岁至22岁之间死亡服从均匀分布，年利率为10%，则该险种的趸缴纯保费为（　　）。

A．0.026

B．0.035

C．0.048

D．0.064

E．0.083

【答案】B

【解析】由（18，100）（22，96）得到l_x的函数关系式为

，18≤≤22

据此可得如表2-19所示的生命表。

表2-19 生命表

所以有：，

=0.035。

148．假设死亡服从均匀分布假设，则下列表达式中正确的有（　　）。

（1）；

（2）；

（3）；

（4）()_x=+vⁿ

A．（1）（2）（3）

B．（1）（2）（4）

C．（1）（3）（4）

D．（2）（3）（4）

E．（1）（2）（3）（4）

【答案】A

【解析】（1）死亡即刻赔付两全保险等于连续型的死亡即刻赔付保险和离散型的到期生存赔付保险组合而成，即，

其中，

在分数年龄死亡服从均匀分布的假定下：

E(v^S-1)=

即有：，

所以；

（2）一年递增一次的终身寿险：

；

（3）对连续递增的终身寿险进行整数部分和分数部分的分解：

其中

，

所以；

（4）()_x=E[(n－K)·v^K⁺¹v^S-1]

=E(v^S-1)·E[(n－K)v^K⁺¹]

=(DA)_x。

149．已知年利率i=2.5%，利力恒定为δ，并且q_x＝0.10，q_x+1＝0.15。假定生存函数服从死亡均匀分布假设，则=（　　）。

A．0.200

B．0.203

C．0.213

D．0.223

E．0.233

【答案】D

【解析】由于=1.025^-1，故由已知，得：

=v²q_x+v⁴(1－q_x)q_x+1=1.025^-2×0.1+1.025^-4×0.9×0.15=0.2175。

由于，

同理有：，其中i'是利力为2δ所对应的实际利率。

故由

得：i'=2i＋i²。

所以

=0.223。

150．一份25年的抵押贷款以每次连续偿还1的速率连续偿还。贷款人购买了一份保险，保险合同规定在贷款人死亡即刻给付此贷款的未偿还余额。假设贷款利率和保单预定利率相同，贷款人签订保单和贷款合同为同一天，那一天正好为他40岁生日。已知：i＝0.025，趸缴纯保费为=0.08，₂₅p₄₀＝0.9685。假设死亡在分数年龄服从均匀分布。则此项保险的保费为（　　）。