第1章 波函数与Schrödinger方程
1.1 复习笔记
一、波函数的统计诠释
1．实物粒子的波动性
de Broglie（1923）提出了实物粒子（静质量m≠0的粒子，如电子）也具有波粒二象性（wave-particle duality）的假设，即与动量为p和能量为E的粒子相应的波的波长λ和频率ν为
并称之为物质波（matter wave）．
2．波粒二象性的分析
（１）包括波动力学创始人Schrödinger，de Broglie等在内的一些人，他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种物质波包．物质波包的观点显然夸大了波动性一面，而实质上抹杀了粒子性一面，是带有片面性的．
（２）与物质波包相反的另一种看法是：波动性是由于有大量电子分布于空间而形成的疏密波．它夸大了粒子性一面，而实质上抹杀了粒子的波动性一面，也带有片面性．
然而，电子究竟是什么东西?是粒子?还是波?电子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一．但这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念中的粒子．
3．概率波，多粒子体系的波函数
把粒子性与波动性统一起来．更确切地说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来的是M．Born（1926）提出的概率波．
表征在r点处的体积元
中找到粒子的概率．这就是Born提出的波函数的概率诠释．它是量子力学的基本原理之一．
根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子（不产生，不湮没）在空间各点的概率之总和为1，即要求波函数ψ（r）满足下列条件
这称为波函数的归一化（normalization）条件．
归一化条件就可以简单表示为
（ψ，ψ）=1
4．动量分布概率
动量分布概率密度即
．
5．不确定性原理与不确定度关系
不管粒子处于什么量子态下，它的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，这就是Heisenberg的不确定性原理，上式是它的数学表示式，它是波粒二象性的反映．
6．力学量的平均值与算符的引进
令
称为动量算符．
l是一个矢量算符．它的三个分量可以表示为
一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出
是与力学量A相应的算符．如波函数未归一化，则
与经典Hamilton量H=T+V相应的算符表示为
7．统计诠释对波函数提出的要求
统计诠释赋予了波函数确切的物理含义．根据统计诠释，究竟应对波函数ψ（r）提出哪些要求?
（1）根据统计诠释，要求|ψ（r）|2取有限值似乎是必要的，即要求ψ（r）取有限值．
（2）按照统计诠释，一个真实的波函数需要满足归一化条件（平方可积）
但概率描述中实质的问题是相对概率．因此，在量子力学中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数．
（3）按照统计诠释，要求|ψ（r）|2单值．是否由此可得出要求ψ（r）单值?否．
（4）波函数ψ（r）及其各阶微商的连续性．
二、Schrödinger方程
1.Schrödinger方程的引进
在势场V（r）中的粒子的波函数满足的微分方程，称为Schrödinger波动方程，它揭示了微观世界中物质运动的基本规律．
2.Schrödinger方程的讨论
（１）定域的概率守恒
对于一个粒子来说，在全空间中找到它的概率之总和应不随时间改变．即
（1）
（1）式为概率守恒的微分表达式，其形式与流体力学中的连续性方程相同．
（2）初值问题，传播子
Schrödinger方程给出了波函数（量子态）随时间演化的因果关系，取初始时刻为t‘，则t时刻波函数可以表示为
式中
称为传播子（propagator）．可以证明
就是t时刻在r点找到粒子的概率波幅．
3．能量本征方程
以下讨论一个极为重要的特殊情况——假设势能V不显含t（经典力学中，在这种势场中的粒子的机械能是守恒量）．
其中ψE（r）满足下列方程：
（2）
在有的条件下，特别是束缚态边条件，只有某些离散的E值所对应的解才是物理上可以接受的．这些E值称为体系的能量本征值（energy eigen value），而相应的解ψ（r）称为能量本征函数（energy eigen unction）．方程（2）就是势场V（r）中粒子的能量本征方程，也称为不含时（time-independent）Schrödinger方程．
不同的能量本征值相应的本征函数是正交归一化的（设E取离散值），即
Schrödinger方程的更普遍的表示是
4．定态与非定态
若在初始时刻（t=0）体系处于某一个能量本征态ψ（r，0）=ψE（r），则
（4）
形式如式（4）的波函数所描述的态，称为定态（stationary state）．处于定态下的
粒子具有如下特征：
（1）粒子在空间的概率密度ρ（r）= |ψ（r）|2以及概率流密度j显然不随时间改变
（2）任何（不显含t的）力学量的平均值不随时间改变．
（3）任何（不显含t的）力学量的测量概率分布也不随时间改变．
由若干个能量不同的本征态的叠加所形成的态，称为非定态（non stationary state）．
5．多粒子体系的Schrödinger方程
设体系由N个粒子组成，粒子质量分别为mi（i=1，2，3，…，N）．体系的波函数表示为ψ（r1 ，…，rN，t）．设第i个粒子受到的外势场为Ui（ri），粒子之间相互作用为V（r1 ，…，rN，t），则Schrödinger方程表示为
其中
而不含时Schrödinger方程表示为
E为多粒子体系的能量．
三、量子态叠加原理
1．量子态及其表象
当ψ（r）给定后，三维空间中一个粒子所有力学量的测值概率分布就确定了．从这个意义上来讲，ψ（r）完全描述了一个三维空间中粒子的量子态．所以波函数也称为态函数．
2．量子态叠加原理，测量与波函数坍缩
（1）设体系处于ψ描述的态下，测量力学量A所得结果是一个确切直a1（ψ1也称为A的本征态，A的本征值为a1）．又假设在ψ2态下，测量A得的结果是另一个确切值a2（ψ2也是A的一个本征态，本征值为a2）．则在
所描述的状态下，测量A所得结果，既可能为a1，也可能为a2（但不会是另外的值），而测得结果为a1或a2的相对概率是完全确定的．我们称ψ态是ψ1态和ψ2态的相干叠加态．
（2）按照von Neumann的看法，量子态坍缩（collapse）即在测量过程中，粒子的状态从叠加态坍缩成为某一能量本征态ψ．